सन्निकटन के समान. पी. शब्द का प्रयोग कभी-कभी किसी वस्तु को करीब लाने के अर्थ में किया जाता है (उदाहरण के लिए, प्रारंभिक पी.) ... गणितीय विश्वकोश

न्यूटन की विधि- न्यूटन की विधि, न्यूटन का एल्गोरिदम (जिसे स्पर्शरेखा विधि के रूप में भी जाना जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन की जड़ (शून्य) को खोजने के लिए एक पुनरावृत्त संख्यात्मक विधि है। यह विधि सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन द्वारा प्रस्तावित की गई थी... विकिपीडिया

एक स्पर्शरेखा विधि

गॉस-न्यूटन विधि- न्यूटन की विधि (जिसे स्पर्शरेखा विधि के रूप में भी जाना जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन का मूल (शून्य) खोजने के लिए एक पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधि है। यह विधि सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन (1643 1727) द्वारा प्रस्तावित की गई थी, नाम के तहत ... विकिपीडिया

न्यूटन-रेफसन विधि- न्यूटन की विधि (जिसे स्पर्शरेखा विधि के रूप में भी जाना जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन का मूल (शून्य) खोजने के लिए एक पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधि है। यह विधि सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन (1643 1727) द्वारा प्रस्तावित की गई थी, नाम के तहत ... विकिपीडिया

न्यूटन-रेफसन विधि- न्यूटन की विधि (जिसे स्पर्शरेखा विधि के रूप में भी जाना जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन का मूल (शून्य) खोजने के लिए एक पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधि है। यह विधि सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन (1643 1727) द्वारा प्रस्तावित की गई थी, नाम के तहत ... विकिपीडिया

स्पर्शरेखा विधि- न्यूटन की विधि (जिसे स्पर्शरेखा विधि के रूप में भी जाना जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन का मूल (शून्य) खोजने के लिए एक पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधि है। यह विधि सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन (1643 1727) द्वारा प्रस्तावित की गई थी, नाम के तहत ... विकिपीडिया

स्पर्शरेखा विधि (न्यूटन की विधि)- न्यूटन की विधि (जिसे स्पर्शरेखा विधि के रूप में भी जाना जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन का मूल (शून्य) खोजने के लिए एक पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधि है। यह विधि सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन (1643 1727) द्वारा प्रस्तावित की गई थी, नाम के तहत ... विकिपीडिया

स्पर्शरेखा विधि- न्यूटन की विधि (जिसे स्पर्शरेखा विधि के रूप में भी जाना जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन का मूल (शून्य) खोजने के लिए एक पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधि है। यह विधि सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन (1643 1727) द्वारा प्रस्तावित की गई थी, नाम के तहत ... विकिपीडिया

समीकरणों का संख्यात्मक समाधान- और उनकी प्रणालियों में समीकरण या समीकरणों की प्रणाली की जड़ या जड़ों का अनुमानित निर्धारण होता है और इसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां सटीक मान की गणना करना असंभव या बहुत श्रमसाध्य होता है। सामग्री 1 समस्या कथन 2 संख्यात्मक विधियाँ ... विकिपीडिया

क्रमिक सन्निकटन विधि- सन्निकटन के अनुक्रम का उपयोग करके गणितीय समस्याओं को हल करने की एक विधि जो एक समाधान में परिवर्तित होती है और पुनरावर्ती रूप से निर्मित होती है (यानी, प्रत्येक नए सन्निकटन की गणना पिछले एक के आधार पर की जाती है; प्रारंभिक सन्निकटन को चुना जाता है ... ... महान सोवियत विश्वकोश

जड़ें खोजने के लिए न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा)।

यह एक पुनरावृत्तीय विधि का अविष्कार किया गया है आइजैक न्यूटन(आइजैक न्यूटन) 1664 के आसपास। हालाँकि, इस विधि को कभी-कभी न्यूटन-रैफसन विधि कहा जाता है, क्योंकि रैफसन ने न्यूटन की तुलना में कई साल बाद उसी एल्गोरिदम का आविष्कार किया था, लेकिन उनका पेपर बहुत पहले प्रकाशित हुआ था।

कार्य इस प्रकार है. समीकरण दिया गया:

इस समीकरण को हल करना, या अधिक सटीक रूप से, इसकी जड़ों में से एक को ढूंढना आवश्यक है (यह मानते हुए कि जड़ मौजूद है)। यह माना जाता है कि यह अंतराल पर सतत और अवकलनीय है।

कलन विधि

फ़ंक्शन के अतिरिक्त, एल्गोरिदम का इनपुट पैरामीटर भी है प्रारंभिक सन्निकटन— कुछ , जिससे एल्गोरिथम आगे बढ़ना शुरू करता है।

आइए पहले से ही गणना करें, आइए इसकी गणना निम्नानुसार करें। आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ में बिंदु पर एक स्पर्शरेखा बनाएं, और भुज अक्ष के साथ इस स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं। आइए इसे पाए गए बिंदु के बराबर सेट करें और शुरुआत से पूरी प्रक्रिया को दोहराएं।

निम्नलिखित सूत्र प्राप्त करना आसान है:

यह सहज रूप से स्पष्ट है कि यदि फ़ंक्शन पर्याप्त रूप से "अच्छा" (सुचारू) है और रूट के काफी करीब स्थित है, तो यह वांछित रूट के और भी करीब होगा।

अभिसरण की दर है द्विघात, जिसका तुलनात्मक रूप से अर्थ यह है कि अनुमानित मान में सटीक अंकों की संख्या प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ दोगुनी हो जाती है।

वर्गमूल की गणना के लिए आवेदन

आइए वर्गमूल की गणना के उदाहरण का उपयोग करके न्यूटन की विधि पर विचार करें।

यदि हम प्रतिस्थापित करें, तो अभिव्यक्ति को सरल बनाने के बाद हमें प्राप्त होता है:

समस्या का पहला विशिष्ट संस्करण तब होता है जब एक भिन्नात्मक संख्या दी जाती है और आपको कुछ सटीकता के साथ इसके मूल की गणना करने की आवश्यकता होती है:

डबल एन; सीन >> एन; स्थिरांक डबल ईपीएस = 1ई-15; डबल एक्स = 1 ; (;; ) (डबल एनएक्स = (एक्स + एन / एक्स) / 2 के लिए; यदि (एबीएस (एक्स - एनएक्स)< EPS) break ; x = nx; } printf ("%.15lf" , x) ;

समस्या का एक अन्य सामान्य संस्करण तब होता है जब आपको एक पूर्णांक मूल की गणना करने की आवश्यकता होती है (किसी दिए गए के लिए, सबसे बड़ा ऐसा खोजें)। यहां हमें एल्गोरिदम की रुकने की स्थिति को थोड़ा बदलना होगा, क्योंकि ऐसा हो सकता है कि यह उत्तर के पास "कूदना" शुरू कर दे। इसलिए, हम एक शर्त जोड़ते हैं कि यदि पिछले चरण पर मान कम हो गया है, लेकिन वर्तमान चरण में बढ़ने की कोशिश करता है, तो एल्गोरिदम को रोकना होगा।

पूर्णांक n; सीन >> एन; पूर्णांक x = 1 ; बूल घटा = गलत; के लिए (;; ) ( int nx = (x + n / x) >> 1 ; यदि (x == nx || nx > x && घटा) टूट गया ; घटा = nx< x; x = nx; } cout << x;

अंत में, हम एक तीसरा विकल्प प्रस्तुत करते हैं - दीर्घ अंकगणित के मामले के लिए। चूंकि संख्या काफी बड़ी हो सकती है, इसलिए प्रारंभिक अनुमान पर ध्यान देना उचित होगा। जाहिर है, यह जड़ के जितना करीब होगा, परिणाम उतनी ही तेजी से प्राप्त होगा। संख्या को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में लेना काफी सरल और प्रभावी होगा, संख्या में बिट्स की संख्या कहां है। इस विकल्प को प्रदर्शित करने वाला जावा कोड यहां दिया गया है:

बिगइंटेगर एन; // इनपुट डेटा BigInteger a = BigInteger.ONE.shiftLeft(n.bitLength()/2); बूलियन p_dec = गलत; for (;; ) ( BigInteger b = n.divide (a) .add (a) .shiftRight (1 ) ; if (a.compareTo (b) == 0 || a.compareTo (b)< 0 && p_dec) break ; p_dec = a.compareTo (b) >0 ; ए = बी; )

उदाहरण के लिए, कोड का यह संस्करण किसी संख्या के लिए मिलीसेकंड में चलता है, लेकिन यदि हम प्रारंभिक सन्निकटन (बस से शुरू करें) के बेहतर विकल्प को हटा देते हैं, तो यह लगभग मिलीसेकंड में चलेगा।

मान लें कि समीकरण f(x)=0 के मूल को पहले और दूसरे व्युत्पन्न f'(x) और के साथ खंड पर अलग किया गया है च""(x) xÎ के लिए निरंतर और स्थिर चिह्न वाले हैं।

मान लीजिए मूल शोधन के कुछ चरण में मूल x n का अगला सन्निकटन प्राप्त होता है (चयनित) . फिर मान लीजिए कि अगला सन्निकटन सुधार h n का उपयोग करके प्राप्त किया गया है , जड़ के सटीक मान की ओर ले जाता है

एक्स = एक्सएन + एचएन। (1.2.3-6)

गिनती एच एनछोटे मूल्य पर, हम टेलर श्रृंखला के रूप में f(х n + h n) का प्रतिनिधित्व करते हैं, खुद को रैखिक शब्दों तक सीमित रखते हैं

एफ(एक्स एन + एच एन) »एफ(एक्स एन) + एच एन एफ'(एक्स एन)। (1.2.3-7)

यह मानते हुए कि f(x) = f(x n + h n) = 0, हमें f(x n) + h n f '(x n) » 0 प्राप्त होता है।

इसलिए h n » - f(x n)/ f'(x n). आइए मान को प्रतिस्थापित करें एच एन(1.2.3-6) में और मूल के सटीक मान के बजाय एक्सहमें एक और अनुमान मिलता है

फॉर्मूला (1.2.3-8) हमें सन्निकटन x 1, x 2, x 3 ... का एक क्रम प्राप्त करने की अनुमति देता है, जो कुछ शर्तों के तहत, मूल के सटीक मान में परिवर्तित हो जाता है एक्स,वह है

न्यूटन की विधि की ज्यामितीय व्याख्याइस प्रकार है
(चित्र.1.2.3-6)। आइए खंड b के दाहिने सिरे को प्रारंभिक सन्निकटन x 0 के रूप में लें और फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ पर संबंधित बिंदु B 0 पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। एक्स-अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को एक नए, अधिक सटीक सन्निकटन x 1 के रूप में लिया जाता है। इस प्रक्रिया को कई बार दोहराने से हमें सन्निकटन x 0, x 1, x 2 का अनुक्रम प्राप्त करने की अनुमति मिलती है , . . ., जो मूल के सटीक मान की ओर प्रवृत्त होता है एक्स।

न्यूटन की विधि (1.2.3-8) का गणना सूत्र एक ज्यामितीय निर्माण से प्राप्त किया जा सकता है। तो एक समकोण त्रिभुज में x 0 B 0 x 1 पैर
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. यह मानते हुए कि बिंदु B 0 फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर है एफ(एक्स),और कर्ण बिंदु B 0 पर ग्राफ़ f(x) की स्पर्श रेखा से बनता है, हम पाते हैं

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

यह सूत्र nवें सन्निकटन के लिए (1.2.3-8) से मेल खाता है।

चित्र 1.2.3-6 से यह स्पष्ट है कि बिंदु a को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में चुनने से यह तथ्य सामने आ सकता है कि अगला सन्निकटन x 1 उस खंड के बाहर होगा जिस पर मूल अलग हो गया है एक्स. इस मामले में, प्रक्रिया के अभिसरण की गारंटी नहीं है। सामान्य स्थिति में, प्रारंभिक सन्निकटन का चुनाव निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है: प्रारंभिक सन्निकटन को एक बिंदु x 0 О के रूप में लिया जाना चाहिए, जिस पर f(x 0)×f''(x 0)>0 , अर्थात्, फ़ंक्शन और उसके दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न मेल खाते हैं।

न्यूटन की विधि के अभिसरण की शर्तें निम्नलिखित प्रमेय में तैयार की गई हैं।

यदि समीकरण की जड़ को खंड पर अलग किया गया है, और f'(x 0) और f''(x) शून्य से भिन्न होते हैं और जब अपने चिह्न बनाए रखते हैं xО, तो यदि हम प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में ऐसा कोई बिंदु चुनते हैं x 0 О , क्या f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , फिर समीकरण की जड़एफ(एक्स)=0 किसी भी डिग्री की सटीकता के साथ गणना की जा सकती है।

न्यूटन की विधि का त्रुटि अनुमान निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(1.2.3-11)

सबसे छोटा मान कहां है पर

उच्चतम मूल्य पर

गणना प्रक्रिया रुक जाती है यदि ,

निर्दिष्ट सटीकता कहां है.

इसके अलावा, न्यूटन की विधि का उपयोग करके रूट को परिष्कृत करते समय निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ दी गई सटीकता प्राप्त करने के लिए एक शर्त के रूप में काम कर सकती हैं:

न्यूटन विधि एल्गोरिथ्म का आरेख चित्र में दिखाया गया है। 1.2.3-7.

एल्गोरिदम में मूल समीकरण f(x) के बाईं ओर और इसके व्युत्पन्न f'(x) को अलग-अलग सॉफ़्टवेयर मॉड्यूल के रूप में डिज़ाइन किया गया है।

चावल। 1.2.3-7. न्यूटन विधि एल्गोरिथ्म आरेख

उदाहरण 1.2.3-3. न्यूटन की विधि का उपयोग करके समीकरण x-ln(x+2) = 0 की जड़ों को परिष्कृत करें, बशर्ते कि इस समीकरण की जड़ें x 1 О[-1.9;-1.1] खंडों पर अलग की गई हों x 2 О [-0.9;2 ].

पहला व्युत्पन्न f'(x) = 1 - 1/(x+2) प्रत्येक खंड पर अपना चिह्न बरकरार रखता है:

एफ'(एक्स)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f'(x)>0 xO पर [-0.9; 2].

किसी भी x के लिए दूसरा अवकलज f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0।

इस प्रकार, अभिसरण की शर्तें संतुष्ट हैं। चूँकि f""(x)>0 अनुमेय मानों की संपूर्ण श्रृंखला पर है, तो प्रारंभिक सन्निकटन की जड़ को स्पष्ट करने के लिए एक्स 1 x 0 = -1.9 चुनें (चूँकि f(-1.9)×f”(-1.9)>0)। हमें सन्निकटनों का एक क्रम प्राप्त होता है:

गणना जारी रखते हुए, हमें पहले चार सन्निकटनों का निम्नलिखित क्रम प्राप्त होता है: -1.9; -1.8552, -1.8421; -1.8414 . बिंदु x=-1.8414 पर फ़ंक्शन f(x) का मान f(-1.8414)=-0.00003 के बराबर है .

मूल x 2 О[-0.9;2] को स्पष्ट करने के लिए हम प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) चुनते हैं। x 0 = 2 के आधार पर, हमें सन्निकटन का एक क्रम प्राप्त होता है: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. बिंदु x=1.1461 पर फ़ंक्शन f(x) का मान f(1.1461)= -0.00006 के बराबर है।

न्यूटन की विधि में उच्च अभिसरण दर है, लेकिन प्रत्येक चरण में न केवल फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता होती है, बल्कि इसके व्युत्पन्न की भी गणना होती है।

तार विधि

तार विधि की ज्यामितीय व्याख्याइस प्रकार है
(चित्र.1.2.3-8).

आइए बिंदु A और B से होकर एक रेखाखंड बनाएं। अगला सन्निकटन x 1, 0x अक्ष के साथ जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है। आइए एक सीधी रेखा खंड का समीकरण बनाएं:

आइए y=0 सेट करें और मान x=x 1 ज्ञात करें (अगला सन्निकटन):

आइए मूल - x 2 का अगला सन्निकटन प्राप्त करने के लिए गणना प्रक्रिया को दोहराएं :

हमारे मामले में (चित्र 1.2.11) और कॉर्ड विधि के लिए गणना सूत्र जैसा दिखेगा

यह सूत्र तब मान्य होता है जब बिंदु b को एक निश्चित बिंदु के रूप में लिया जाता है, और बिंदु a प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है।

आइए एक अन्य मामले पर विचार करें (चित्र 1.2.3-9), जब .

इस मामले के लिए सीधी रेखा समीकरण का रूप है

अगला सन्निकटन x 1 पर y = 0

फिर इस मामले के लिए कॉर्ड विधि के आवर्ती सूत्र का रूप होता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कॉर्ड विधि में निश्चित बिंदु को उस खंड के अंत के रूप में चुना जाता है जिसके लिए शर्त f (x)∙f¢¢ (x)>0 संतुष्ट होती है।

इस प्रकार, यदि बिंदु a को एक निश्चित बिंदु के रूप में लिया जाता है , तब x 0 = b प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है, और इसके विपरीत।

जीवा सूत्र का उपयोग करके समीकरण f(x) = 0 के मूल की गणना सुनिश्चित करने वाली पर्याप्त स्थितियाँ स्पर्शरेखा विधि (न्यूटन की विधि) के समान ही होंगी, केवल प्रारंभिक सन्निकटन के बजाय, एक निश्चित बिंदु चुना जाता है। कॉर्ड विधि न्यूटन की विधि का एक संशोधन है। अंतर यह है कि न्यूटन की विधि में अगला सन्निकटन 0X अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु है, और कॉर्ड विधि में - 0X अक्ष के साथ जीवा के प्रतिच्छेदन का बिंदु - सन्निकटन विभिन्न पक्षों से मूल में परिवर्तित होते हैं .

कॉर्ड विधि के लिए त्रुटि अनुमान अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है

(1.2.3-15)

कॉर्ड विधि का उपयोग करके पुनरावृत्ति प्रक्रिया को समाप्त करने की शर्त

(1.2.3-16)

मामले में एम 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£इ।

उदाहरण 1.2.3-4. 10 -4 की सटीकता के साथ खंड पर अलग किए गए समीकरण ई एक्स - 3x = 0 की जड़ को स्पष्ट करें।

आइए अभिसरण स्थिति की जाँच करें:

नतीजतन, a=0 को निश्चित बिंदु के रूप में चुना जाना चाहिए, और x 0 =1 को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में लिया जाना चाहिए, क्योंकि f(0)=1>0 और f(0)*f"(0)>0।

किसी फ़ंक्शन को न्यूनतम करने की समस्या में, प्रारंभिक सन्निकटन का सफल विकल्प सबसे महत्वपूर्ण है। बेशक, एक सामान्य नियम के साथ आना असंभव है जो सभी मामलों के लिए, यानी सभी संभावित गैर-रेखीय कार्यों के लिए संतोषजनक होगा। हर बार आपको अपना समाधान स्वयं खोजना पड़ता है। नीचे हम किसी न किसी प्रारंभिक सन्निकटन को खोजने के लिए कुछ तरीकों का एक सेट प्रस्तावित करते हैं, जो व्यवहार में किसी विशेष समस्या में संतोषजनक सन्निकटन की खोज के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में काम कर सकता है।

9.6.1. ग्रिड खोज. यह विधि कम संख्या में वास्तविक अरेखीय मापदंडों के साथ विशेष रूप से प्रभावी है। अक्सर फ़ंक्शंस को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि जब कुछ पैरामीटर (जिन्हें हम नॉनलाइनियर कहते हैं) के मान तय हो जाते हैं, तो बाकी पैरामीटर रैखिक हो जाते हैं।

फिर गैर-रेखीय मापदंडों के लिए निचली और ऊपरी सीमाओं को निर्दिष्ट करने के बाद, एक निश्चित चरण के साथ इन गैर-रेखीय मापदंडों के मूल्यों के परिणामी ग्रिड पर विकल्पों की गणना करना और रैखिक प्रतिगमन की पहचान करना संभव है जो वर्गों के न्यूनतम योग की ओर ले जाता है। .

उदाहरण के तौर पर, फ़ंक्शन पर विचार करें

यहां वास्तविक अरेखीय पैरामीटर होगा। मान लीजिए कि यह ज्ञात है। मान लीजिए h पैरामीटर के लिए चरण है। आइए रैखिक प्रतिगमन की गणना करें

जहां हम उनमें से प्रत्येक के लिए वर्गों का न्यूनतम योग पाते हैं। उनमें से सबसे छोटा इष्टतम प्रारंभिक सन्निकटन से मेल खाता है। सिद्धांत रूप में, वह चरण जिस पर ग्रिड का "घनत्व" निर्भर करता है, भिन्न हो सकता है, ताकि एच के मान को कम करके, पैरामीटर मान किसी भी सटीकता के साथ पाया जा सके।

9.6.2. मॉडल परिवर्तन.

कभी-कभी, कुछ परिवर्तन द्वारा, मॉडल को रैखिक में कम किया जा सकता है या वास्तविक गैर-रेखीय मापदंडों की संख्या को कम किया जा सकता है (अनुभाग 6.2.3 देखें)। आइए हम दिखाएं कि लॉजिस्टिक वक्र के उदाहरण का उपयोग करके इसे कैसे प्राप्त किया जा सकता है

संबंधित प्रतिगमन समीकरणों पर व्युत्क्रम परिवर्तन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

निरूपित करके, हम एक नए फ़ंक्शन पर पहुंचते हैं, जिसके रैखिक मापदंडों की संख्या एक से बढ़कर दो हो गई है। नए मॉडल में पैरामीटर का अनुमान पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, पिछली पद्धति का उपयोग करके।

यहां प्रतिगमन मॉडल के परिवर्तनों के बारे में निम्नलिखित टिप्पणी करना उचित है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि मूल समीकरण में जो त्रुटि योगात्मक थी, सामान्यतया, परिवर्तन के बाद वह योगात्मक नहीं रहेगी।

टेलर श्रृंखला के विस्तार का उपयोग करते हुए और परिवर्तन को निरूपित करते हुए, हम क्रम की शर्तों की उपेक्षा करते हुए प्राप्त करते हैं

यह इस प्रकार है कि

परिवर्तित मॉडल के साथ समस्या का विश्लेषण करने के लिए अंतिम समानता को आधार के रूप में लिया जा सकता है।

9.6.3. नमूने को उपनमूनों में विभाजित करना।

प्रारंभिक सन्निकटन ज्ञात करने के लिए, आप पूरे नमूने को उपनमूनों (लगभग बराबर मात्रा के साथ) में विभाजित कर सकते हैं, जहां अज्ञात मापदंडों की संख्या है। प्रत्येक उप-नमूने के लिए, हम क्रमशः y से अधिक और X से अधिक का औसत पाते हैं, जिसे हम m द्वारा निरूपित करते हैं। आइए हम गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करें

इस प्रणाली का समाधान मापदंडों का प्रारंभिक सन्निकटन होगा। जाहिर है, इस विधि को "काम" करने के लिए, यह आवश्यक है कि गैर-रेखीय समीकरणों की इस प्रणाली को काफी आसानी से हल किया जाए, उदाहरण के लिए विश्लेषणात्मक रूप से।

9.6.4. स्वतंत्र चरों में टेलर श्रृंखला का विस्तार।

वर्गों के योग के पुनरावृत्त न्यूनतमकरण का आधार टेलर श्रृंखला में प्रतिगमन फ़ंक्शन का मापदंडों में रैखिक शब्दों तक विस्तार है। एक मोटा प्रारंभिक सन्निकटन खोजने के लिए, इसे स्वतंत्र चर में टेलर श्रृंखला में विस्तारित करके प्रतिगमन सन्निकटन प्रक्रिया कभी-कभी उपयोगी होती है। सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि यह एक-आयामी है। मान लीजिए औसत मान है, तो लगभग

हम निरूपित करते हैं, इस प्रकार हम रैखिक मॉडल पर पहुंचते हैं

मान लीजिए कि इस रैखिक प्रतिगमन के मापदंडों का न्यूनतम वर्ग अनुमान है। प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में, हम समीकरणों की एक अरेखीय प्रणाली का समाधान लेंगे

स्वभाव से सभी लोग ज्ञान के लिए प्रयास करते हैं। (अरस्तू। तत्वमीमांसा)

संख्यात्मक विधियाँ: अरैखिक समीकरणों को हल करना

व्यवहार में समीकरणों को हल करने की समस्याएँ लगातार उठती रहती हैं, उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में, व्यवसाय विकसित करते समय, आप जानना चाहते हैं कि मुनाफा एक निश्चित मूल्य तक कब पहुँचेगा, चिकित्सा में, दवाओं के प्रभाव का अध्ययन करते समय, यह जानना महत्वपूर्ण है कि एकाग्रता कब होगी किसी पदार्थ का एक निश्चित स्तर तक पहुँचना आदि।

अनुकूलन समस्याओं में, उन बिंदुओं को निर्धारित करना अक्सर आवश्यक होता है जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 हो जाता है, जो एक आवश्यक शर्त है स्थानीयचरम.

आंकड़ों में, न्यूनतम वर्ग या अधिकतम संभावना पद्धति का उपयोग करके अनुमान बनाते समय, आपको गैर-रेखीय समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों को भी हल करना होगा।

तो, समाधान खोजने से संबंधित समस्याओं का एक पूरा वर्ग उत्पन्न होता है अरेखीयसमीकरण, जैसे समीकरण या समीकरण, आदि।

सरलतम मामले में, हमारे पास अंतराल पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है ( ए, बी) और कुछ मान ले रहे हैं।

प्रत्येक मान एक्स इस खंड से हम संख्या की तुलना कर सकते हैं, यह है कार्यात्मकनिर्भरता, गणित में एक प्रमुख अवधारणा।

हमें एक ऐसा मान खोजने की आवश्यकता है जिस पर इन्हें फ़ंक्शन की जड़ें कहा जाता है

दृश्यतः हमें फ़ंक्शन ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करने की आवश्यकता हैभुज अक्ष के साथ.

आधा करने की विधि

किसी समीकरण के मूल ज्ञात करने की सबसे सरल विधि आधा विधि है, या विरोधाभास.

यह विधि सहज है और किसी समस्या को हल करते समय हर कोई समान तरीके से कार्य करेगा।

एल्गोरिथ्म इस प्रकार है.

मान लीजिए हमें दो बिंदु मिलते हैं और, जैसे कि उनके पास है अलगसंकेत, तो इन बिंदुओं के बीच फ़ंक्शन का कम से कम एक मूल होता है।

आइए खंड को आधे में विभाजित करें और प्रवेश करें औसतबिंदु ।

तो कोई , या .

आइए हम उस खंड के आधे हिस्से को छोड़ दें जिसके अंत में मानों के अलग-अलग चिह्न हैं। अब हम इस खंड को फिर से आधे में विभाजित करते हैं और आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए उस हिस्से को उन सीमाओं पर छोड़ देते हैं जिनकी सीमाओं पर फ़ंक्शन के अलग-अलग चिह्न होते हैं, इत्यादि।

जाहिर है, हम धीरे-धीरे उस क्षेत्र को संकीर्ण कर देंगे जहां फ़ंक्शन की जड़ स्थित है, और इसलिए, हम इसे कुछ हद तक सटीकता के साथ निर्धारित करेंगे।

ध्यान दें कि वर्णित एल्गोरिदम किसी भी निरंतर फ़ंक्शन के लिए लागू है।

हॉल्टिंग विधि के फायदों में इसकी उच्च विश्वसनीयता और सरलता शामिल है।

विधि का नुकसान यह है कि इसका उपयोग शुरू करने से पहले, आपको दो बिंदु ढूंढने होंगे जहां फ़ंक्शन मानों के अलग-अलग संकेत हों। यह स्पष्ट है कि यह विधि सम बहुलता की जड़ों के लिए लागू नहीं है और इसे जटिल जड़ों और समीकरणों की प्रणालियों के मामले में भी सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है।

विधि के अभिसरण का क्रम रैखिक है, प्रत्येक चरण पर सटीकता दोगुनी हो जाती है; जितनी अधिक पुनरावृत्तियाँ की जाती हैं, उतनी ही सटीक रूप से मूल निर्धारित किया जाता है।

न्यूटन की विधि: सैद्धांतिक नींव

न्यूटन की शास्त्रीय विधिया स्पर्शरेखाक्या यह कि यदि समीकरण के मूल का कुछ सन्निकटन है , तो अगले सन्निकटन को बिंदु पर खींचे गए फ़ंक्शन के स्पर्शरेखा के मूल के रूप में परिभाषित किया गया है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के स्पर्शरेखा समीकरण का रूप होता है:

स्पर्शरेखा समीकरण में हम और डालते हैं।

फिर न्यूटन की विधि में अनुक्रमिक गणना के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

स्पर्शरेखा विधि का अभिसरण द्विघात है, अभिसरण का क्रम 2 है।

इस प्रकार, न्यूटन की स्पर्शरेखा विधि का अभिसरण बहुत तेज़ है।

इस अद्भुत तथ्य को याद रखें!

बिना किसी बदलाव के, विधि को जटिल मामले में सामान्यीकृत किया जाता है।

यदि मूल दूसरी बहुलता या उच्चतर का मूल है, तो अभिसरण का क्रम गिर जाता है और रैखिक हो जाता है।

अभ्यास 1. स्पर्शरेखा विधि का उपयोग करके, खंड (0, 2) पर समीकरण का समाधान खोजें।

व्यायाम 2.स्पर्शरेखा विधि का उपयोग करके, खंड (1, 3) पर समीकरण का समाधान खोजें।

न्यूटन की विधि के नुकसान में इसकी स्थानीयता शामिल है, क्योंकि यह एक मनमाने ढंग से प्रारंभिक सन्निकटन के लिए अभिसरण की गारंटी देता है, अगर शर्त हर जगह संतुष्ट हो विपरीत स्थिति में, अभिसरण जड़ के एक निश्चित पड़ोस में ही होता है।

न्यूटन की विधि का नुकसान प्रत्येक चरण पर डेरिवेटिव की गणना करने की आवश्यकता है।

न्यूटन की विधि का दृश्य

यदि समीकरण हो तो न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि) का प्रयोग किया जाता है एफ(एक्स) = 0 एक जड़ है और निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1) फ़ंक्शन य= एफ(एक्स) परिभाषित और निरंतर;

2) एफ(ए)· एफ(बी) < 0 (फ़ंक्शन खंड के अंत में विभिन्न चिह्नों का मान लेता है [ ए; बी]);

3) डेरिवेटिव एफ"(एक्स) और एफ""(एक्स) अंतराल पर चिह्न सुरक्षित रखें [ ए; बी] (अर्थात फ़ंक्शन एफ(एक्स) खंड पर या तो बढ़ता है या घटता है [ ए; बी], उत्तलता की दिशा बनाए रखते हुए);

विधि का मुख्य विचार इस प्रकार है: खंड पर [ ए; बी] ऐसी संख्या का चयन किया जाता है एक्स 0 , जिस पर एफ(एक्स 0 ) के समान चिन्ह है एफ"" (एक्स 0 ), यानी शर्त पूरी हो गई है एफ(एक्स 0 )· एफ"" (एक्स) > 0 . इस प्रकार, भुज वाले बिंदु का चयन किया जाता है एक्स 0 , जिसमें वक्र की स्पर्शरेखा है य= एफ(एक्स) खंड पर [ ए; बी] अक्ष को प्रतिच्छेद करता है बैल. प्रति बिंदु एक्स 0 सबसे पहले, खंड के किसी एक सिरे का चयन करना सुविधाजनक है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके न्यूटन की विधि पर विचार करें।

आइए हमें एक बढ़ता हुआ फलन दिया जाए वाई = एफ(एक्स) =एक्स 2 -2,खंड (0;2) पर निरंतर, और होना एफ"(एक्स)= 2 एक्स > 0 और एफ "" (एक्स) = 2 > 0 .

चित्रकला1 . एफ(एक्स) =एक्स 2 -2

सामान्य रूप में स्पर्शरेखा समीकरण में निम्नलिखित प्रतिनिधित्व होता है:

य-य 0 = एफ" (x 0)·(x-x 0).

हमारे मामले में: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0).बिंदु x 0 के लिए हम बिंदु चुनते हैं बी 1 (बी; एफ(बी)) = (2,2).फ़ंक्शन के लिए एक स्पर्शरेखा बनाएं वाई = एफ(एक्स)बिंदु बी 1 पर, और स्पर्शरेखा और अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें बैलडॉट एक्स 1. हमें प्रथम स्पर्श रेखा का समीकरण प्राप्त होता है: y-2=2·2(x-2), y=4x-6.

बैल: x 1 =

चित्रकला2. प्रथम पुनरावृत्ति का परिणाम

y=f(x) बैलबिंदु के माध्यम से एक्स 1, हमें बात समझ में आ गई बी 2 =(1.5; 0.25). फ़ंक्शन के लिए फिर से एक स्पर्शरेखा बनाएं वाई = एफ(एक्स)बिंदु बी 2 पर, और स्पर्शरेखा और अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें बैलडॉट एक्स 2.

दूसरे स्पर्शरेखा का समीकरण: य-0.25=2*1.5(एक्स-1.5), य = 3 एक्स - 4.25.

स्पर्शरेखा और अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु बैल: x 2 =.

चित्रकला3. न्यूटन की विधि का दूसरा पुनरावृत्ति

फिर हम फ़ंक्शन का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं y=f(x)और अक्ष पर खींचा गया एक लम्ब बैलबिंदु x 2 से होकर हमें बिंदु B 3 मिलता है इत्यादि।

चित्रकला4. स्पर्शरेखा विधि का तीसरा चरण

मूल का पहला सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

= 1.5.

मूल का दूसरा सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

=

मूल का तीसरा सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इस प्रकार , मैंमूल का वां सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

गणना तब तक की जाती है जब तक कि उत्तर में आवश्यक दशमलव स्थान मेल नहीं खाते, या निर्दिष्ट परिशुद्धता ई प्राप्त नहीं हो जाती - जब तक कि असमानता संतुष्ट न हो जाए | क्सी- क्सी-1 | < इ.

हमारे मामले में, आइए तीसरे चरण में प्राप्त अनुमान की तुलना कैलकुलेटर पर गणना किए गए वास्तविक उत्तर से करें:

चित्र 5. 2 का मूल, कैलकुलेटर पर गणना की गई

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले से ही तीसरे चरण में हमें 0.000002 से कम की त्रुटि प्राप्त हुई।

इस तरह, आप किसी भी डिग्री की सटीकता के साथ "2 के वर्गमूल" मान की गणना कर सकते हैं। इस उल्लेखनीय विधि का आविष्कार न्यूटन द्वारा किया गया था और यह आपको बहुत जटिल समीकरणों की जड़ें खोजने की अनुमति देता है।

न्यूटन की विधि: C++ में अनुप्रयोग

इस लेख में, हम C++ में एक कंसोल एप्लिकेशन लिखकर समीकरणों की जड़ों की गणना करने की प्रक्रिया को स्वचालित करेंगे। हम इसे विज़ुअल C++ 2010 एक्सप्रेस में विकसित करेंगे, यह एक मुफ़्त और बहुत सुविधाजनक C++ विकास वातावरण है।

सबसे पहले, आइए विज़ुअल C++ 2010 एक्सप्रेस लॉन्च करें। प्रोग्राम प्रारंभ विंडो दिखाई देगी. बाएं कोने में, "प्रोजेक्ट बनाएं" पर क्लिक करें।

चावल। 1. विज़ुअल सी++ 2010 एक्सप्रेस होम पेज

दिखाई देने वाले मेनू में, "Win32 कंसोल एप्लिकेशन" चुनें और एप्लिकेशन का नाम "Newton_Method" दर्ज करें।

चावल। 2. एक प्रोजेक्ट बनाएं

// न्यूटन.सीपीपी विधि: कंसोल एप्लिकेशन के लिए प्रवेश बिंदु को परिभाषित करता है #शामिल है "stdafx.h" #शामिल करना नेमस्पेस एसटीडी का उपयोग करना; फ्लोट f(double x) //फ़ंक्शन f(x) = x^2-2 का मान लौटाता है फ्लोट डीएफ(फ्लोट x) //व्युत्पन्न मान लौटाता है फ्लोट d2f(फ्लोट x) // दूसरे व्युत्पन्न का मान int _tmain(int argc, _TCHAR* argv) int निकास = 0, i=0;// निकास और लूप के लिए चर डबल x0,xn;//रूट के लिए परिकलित सन्निकटन डबल ए, बी, ईपीएस; // खंड की सीमाएं और आवश्यक सटीकता अदालत<<"Please input \n=>"; सीन>>ए>>बी; // उस खंड की सीमाएं दर्ज करें जिस पर हम मूल की तलाश करेंगे अदालत<<"\nPlease input epsilon\n=>"; सिने>>ईपीएस; // आवश्यक गणना सटीकता दर्ज करें यदि (ए > बी) // यदि उपयोगकर्ता ने खंड की सीमाओं को मिश्रित कर दिया है, तो उन्हें स्वैप करें यदि (f(a)*f(b)>0) // यदि खंड के किनारों पर फ़ंक्शन के चिह्न समान हैं, तो यहां कोई जड़ नहीं है अदालत<<"\nError! No roots in this interval\n"; यदि (f(a)*d2f(a)>0) x0 = a; // प्रारंभिक बिंदु का चयन करने के लिए, f(x0)*d2f(x0)>0 की जांच करें? xn = x0-f(x0)/df(x0); // पहले सन्निकटन पर विचार करें अदालत<<++i<<"-th iteration = "< while(fabs(x0-xn) > eps) // तब तक गणना करना जारी रखेगा जब तक हम आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंच जाते xn = x0-f(x0)/df(x0); // सीधे न्यूटन का सूत्र अदालत<<++i<<"-th iteration = "< अदालत<<"\nRoot = "< अदालत<<"\nExit?=>"; ) जबकि (बाहर निकलें!=1); // जब तक उपयोगकर्ता निकास = 1 में प्रवेश नहीं करता

आइए देखें कि यह कैसे काम करता है। स्क्रीन के ऊपरी बाएँ कोने में हरे त्रिकोण पर क्लिक करें, या F5 दबाएँ।

यदि कोई संकलन त्रुटि होती है "त्रुटि त्रुटि LNK1123: COFF में कनवर्ट करने में विफलता: फ़ाइल अमान्य या क्षतिग्रस्त है," तो इसे या तो पहले सर्विस पैक 1 को स्थापित करके, या प्रोजेक्ट सेटिंग्स प्रॉपर्टीज -> लिंकर में वृद्धिशील लिंकिंग को अक्षम करके ठीक किया जा सकता है।

चावल। 4. प्रोजेक्ट संकलन त्रुटि का समाधान

हम फ़ंक्शन की जड़ों की तलाश करेंगे एफ(एक्स)=x2-2.

सबसे पहले, आइए "गलत" इनपुट डेटा पर एप्लिकेशन के प्रदर्शन की जांच करें। खंड पर कोई जड़ें नहीं हैं, हमारे प्रोग्राम को एक त्रुटि संदेश प्रदर्शित करना चाहिए।

अब हमारे पास एक एप्लिकेशन विंडो है:

चावल। 5. इनपुट डेटा दर्ज करना

आइए हम खंड 3 और 5 की सीमाओं का परिचय दें, और सटीकता 0.05 है। जैसा कि अपेक्षित था, कार्यक्रम ने एक त्रुटि संदेश उत्पन्न किया कि इस खंड पर कोई जड़ें नहीं थीं।

चावल। 6. त्रुटि "इस खंड पर कोई जड़ें नहीं हैं!"

हम अभी तक जाने वाले नहीं हैं, तो "बाहर निकलें" संदेश के बारे में क्या ख्याल है? "0" दर्ज करें.

आइए अब सही इनपुट डेटा का उपयोग करके एप्लिकेशन की जांच करें। आइए खंड और सटीकता 0.0001 दर्ज करें।

चावल। 7. आवश्यक सटीकता के साथ जड़ की गणना

जैसा कि हम देख सकते हैं, आवश्यक सटीकता चौथे पुनरावृत्ति में पहले ही हासिल कर ली गई थी।

एप्लिकेशन से बाहर निकलने के लिए, "बाहर निकलें?" =>1.

सेकेंट विधि

व्युत्पन्न की गणना से बचने के लिए, व्युत्पन्न को पिछले दो बिंदुओं से गणना किए गए अनुमान के साथ प्रतिस्थापित करके न्यूटन की विधि को सरल बनाया जा सकता है:

पुनरावृत्तीय प्रक्रिया इस प्रकार दिखती है:

यह दो चरणों वाली पुनरावृत्तीय प्रक्रिया है क्योंकि यह अगले सन्निकटन को खोजने के लिए पिछले दो चरणों का उपयोग करती है।

छेदक विधि के अभिसरण का क्रम स्पर्शरेखा विधि की तुलना में कम है और एकल जड़ के मामले में बराबर है।

इस उल्लेखनीय मात्रा को स्वर्णिम अनुपात कहा जाता है:

आइए सुविधा के लिए यह मानते हुए इसे सत्यापित करें।

इस प्रकार, उच्च क्रम के अनन्तिमों तक

शेष पद को त्यागने पर हमें एक पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त होता है, जिसका समाधान स्वाभाविक रूप से इस रूप में खोजा जाता है।

प्रतिस्थापन के बाद हमारे पास है: और

अतः अभिसरण के लिए यह आवश्यक है कि वह सकारात्मक हो।

चूँकि व्युत्पन्न के ज्ञान की आवश्यकता नहीं है, सेकेंट विधि में समान मात्रा में गणना के साथ (अभिसरण के निचले क्रम के बावजूद) स्पर्शरेखा विधि की तुलना में अधिक सटीकता प्राप्त की जा सकती है।

ध्यान दें कि मूल के पास आपको एक छोटी संख्या से विभाजित करना होगा, और इससे सटीकता का नुकसान होता है (विशेष रूप से एकाधिक जड़ों के मामले में), इसलिए, अपेक्षाकृत छोटी संख्या चुनने से पहले गणना करें और उन्हें तब तक जारी रखें जब तक कि पड़ोसी सन्निकटनों के बीच अंतर का मापांक कम न हो जाए।

जैसे ही विकास शुरू होता है, गणना रोक दी जाती है और अंतिम पुनरावृत्ति का उपयोग नहीं किया जाता है।

पुनरावृत्तियों के अंत को निर्धारित करने की इस प्रक्रिया को तकनीक कहा जाता है गर्विका.

परवलय विधि

आइए एक तीन-चरणीय विधि पर विचार करें जिसमें सन्निकटन तीन पिछले बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है, और।

ऐसा करने के लिए, हम सेकेंट विधि के समान, फ़ंक्शन को बिंदुओं से गुजरने वाले इंटरपोलेशन परवलय के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, और।

न्यूटन के रूप में ऐसा दिखता है:

एक बिंदु को इस बहुपद की जड़ों में से एक के रूप में परिभाषित किया गया है जो बिंदु के निरपेक्ष मान के करीब है।

परवलय विधि के अभिसरण का क्रम छेदक विधि की तुलना में अधिक है, लेकिन न्यूटन की विधि की तुलना में कम है।

पहले मानी गई विधियों से एक महत्वपूर्ण अंतर यह तथ्य है कि भले ही वास्तविक के लिए वास्तविक हो और प्रारंभिक सन्निकटन को वास्तविक के रूप में चुना गया हो, परवलय विधि मूल समस्या की जटिल जड़ को जन्म दे सकती है।

उच्च घात वाले बहुपदों के मूल ज्ञात करने के लिए यह विधि बहुत सुविधाजनक है।

सरल पुनरावृत्ति विधि

समीकरणों का समाधान खोजने की समस्या को मूल खोजने की समस्या के रूप में तैयार किया जा सकता है:, या एक निश्चित बिंदु खोजने की समस्या के रूप में।

होने देना और - संपीड़न: (विशेष रूप से, तथ्य यह है कि - संपीड़न, जैसा कि देखना आसान है, इसका मतलब है)।

बानाच के प्रमेय के अनुसार, एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है

इसे एक सरल पुनरावृत्तीय प्रक्रिया की सीमा के रूप में पाया जा सकता है

जहां प्रारंभिक सन्निकटन अंतराल में एक मनमाना बिंदु है।

यदि फ़ंक्शन अवकलनीय है, तो एक सुविधाजनक संपीड़न मानदंड संख्या है। दरअसल, लैग्रेंज के प्रमेय के अनुसार

इस प्रकार, यदि व्युत्पन्न एक से कम है, तो यह एक संपीड़न है।

स्थिति आवश्यक है, क्योंकि यदि, उदाहरण के लिए, पर, तो कोई निश्चित बिंदु नहीं है, हालांकि व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। अभिसरण की गति के मान पर निर्भर करती है। जितना छोटा होगा, अभिसरण उतना ही तेज़ होगा।