समूहों में उपसमूहों के एनालॉग रिंग और फ़ील्ड में सबरिंग्स और सबफ़ील्ड हैं।

परिभाषा 2.9. वलय का उपसमुच्चय I को(फ़ील्ड पी) कहा जाता है सबरिंग(क्रमश उपक्षेत्र),यदि यह स्वयं में परिभाषित जोड़ और गुणन के संचालन के आर के प्रतिबंध के संबंध में एक रिंग (फ़ील्ड) है को(क्रमशः पी में)।

सबरिंग (उपक्षेत्र) कहा जाता है अपनायदि यह वलय (क्षेत्र) से मेल नहीं खाता है।

उपसमूह मानदंड का उपयोग करके, हम सबरिंग और उपक्षेत्र मानदंड प्राप्त करते हैं।

प्रमेय 2.1 (सबरिंग मानदंड)।सबसेटमैं एक रिंग K एक सबरिंग है यदि और केवल यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

• 1) सबसेटमैं जोड़ और गुणा की संक्रियाओं के तहत बंद किया जाता है, अर्थात। यदि ए, बीई मैं, फिर ए + बी इमैं और एह? होनामैं;
• 2) मैं दिए गए वलय K का एक शून्य शामिल है;
• 3) यदि a e H, तो विपरीत तत्व a e हैमैं।

प्रमेय 2.2 (उपक्षेत्र मानदंड)।सबसेट पी फ़ील्ड

F एक उपक्षेत्र है यदि और केवल यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

• 1) उपसमुच्चय P को जोड़ और गुणन की संक्रियाओं के अंतर्गत बंद किया जाता है: यदि a, b e P, तो a + b e P और a? बी ई पी;
• 2) P में शून्य और दिए गए फ़ील्ड F में से एक है;
• 3) यदि ए ई पी, तो विपरीत तत्व -ए ई पी, और यदि ए ^ 0, फिर ए- 1 ई आर.

• 1. पूर्णांक Z का वलय परिमेय संख्या Q के वलय (क्षेत्र) का एक उप-क्षेत्र है। क्षेत्र Q वास्तविक संख्या M के क्षेत्र का एक उपक्षेत्र है, और यह बदले में सम्मिश्र संख्या C के क्षेत्र का एक उपक्षेत्र है।
• 2. अंगूठी के = (ए+ बी%/3 | ए, बी e Z) में उपरिंग Z और फ़ील्ड P = शामिल है (ए + बी.जे 3 | ए, बी e Q) में उपक्षेत्र Q शामिल है।

व्यायाम 2.6.वहाँ मैदान में है आर-(ए+बी>/जेड | ए, बीई क्यू) क्यू के अलावा अन्य उपक्षेत्र?

यह साबित करना आसान है कि दो या दो से अधिक सबरिंग्स (उपक्षेत्रों) का प्रतिच्छेदन एक सबरिंग (क्रमशः, एक सबफील्ड) है। "सबसे बड़ा" सबरिंग (उपक्षेत्र) रिंग (फ़ील्ड) ही है। "सबसे छोटा" सबरिंग शून्य सबरिंग है, जिसमें दिए गए रिंग का एक शून्य तत्व शामिल होता है। "सबसे छोटे" उपक्षेत्र का प्रकार बाद में स्पष्ट किया जाएगा। नंबर रिंग (फ़ील्ड)सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र के किसी उपरिंग (उपक्षेत्र) को कहा जाता है।

पूर्णांकों के वलय में, सम पूर्णांकों का उपवलय 2Z = (2n | है एन ई Z) न केवल जोड़ के तहत बंद होता है, बल्कि किसी पूर्णांक से गुणा के तहत भी बंद होता है। आइए एक मनमाना रिंग में समान गुणों वाले उपसमुच्चय पर विचार करें।

परिभाषा 2.10.सब-रिंग I बजती है कोबुलाया आदर्श,यदि इसे किसी तत्व से गुणन के अंतर्गत बंद किया जाता है को,वे। किसी के लिए भी हे या किसी के लिए भी कोइ कोकाम करता है ख्क, ख्क? मैं।

परिभाषा 2.11.आइए हमें एक क्रमविनिमेय वलय दिया जाए कोऔर ए बी ए 2, ..., एपी ई के.सबसेट (के 1 ए 1 + के 2 ए 2 + ... + के पी ए पी के वी के 2, ..., से एन ? को)स्पष्टतः एक आदर्श है को,जिसे कहा जाता है तत्वों a b a 2 द्वारा उत्पन्न आदर्श, ..., एक पी,और (a 1;) द्वारा निरूपित किया जाता है ए 2, ..., ए एन)।विशेष रूप से, आदर्श (ए) = (कैसे ? को)बुलाया मुख्य बात।

आइए उदाहरण देखें.

• 1. एक मनमाना रिंग में, शून्य उपरिंग शून्य आदर्श है: (0) = (0)। अंगूठी ही कोएक आदर्श भी है. अगर अंगूठी कोतब इकाई 1 शामिल है को -(1), चूँकि रिंग का कोई भी तत्व एक इकाई से बनाया जा सकता है: a = a-1। इस आदर्श को एकवचन कहा जाता है।
• 2. आइए सिद्ध करें कि प्रत्येक क्षेत्र आदर्श या तो शून्य या इकाई है।

मुझे क्षेत्र का आदर्श बनने दो आरऔर 0 एफ ए ईआर। फिर एक तत्व ए -1 मौजूद है और चूंकि आर क्षेत्र के किसी भी तत्व द्वारा गुणा के संबंध में बंद है आरहमारे पास ई = है ए?ए -1 ई जेड। लेकिन फिर किसी के लिए एक्स ई आरहम पाते हैं x-x-ee I. इसलिए, I = R.

ध्यान दें कि रिंग में प्रत्येक आदर्श एक सबरिंग है। इसका विपरीत सत्य नहीं है. उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में पूर्णांकों का वलय एक उपरिंग है, लेकिन आदर्श नहीं है।

यह सिद्ध करना आसान है कि दो आदर्शों का प्रतिच्छेदन एक आदर्श है।

एक अंगूठी का आदर्श एक अर्थ में एक "आदर्श सबरिंग" है, अर्थात। एक उपरिंग जो रिंग के किसी भी तत्व द्वारा गुणन के तहत बंद हो जाती है। नीचे हम दिखाएंगे कि रिंगों में आदर्श समूहों में सामान्य उपसमूहों के समान ही भूमिका निभाते हैं।

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें

• 1. क्या किसी फ़ील्ड में ऐसा उपसमुच्चय हो सकता है जो एक रिंग हो लेकिन फ़ील्ड न हो?
• 2. क्या किसी रिंग में कोई ऐसा उपसमुच्चय हो सकता है जो एक फ़ील्ड हो?
• 3. क्या सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में परिमित उपक्षेत्र होते हैं?
• 4. क्या फ़ील्ड Z 3 फ़ील्ड Z 5 में समाहित है?
• 5. क्या वलय Z 9 वलय Z 10 में समाहित है?

कार्य

• 1. पैराग्राफ 2.1 की समस्याओं में दर्शाए गए सेटों के लिए, जो रिंग और फ़ील्ड हैं, उनमें सबरिंग, सबफ़ील्ड और आदर्शों के उदाहरण ढूंढें।
• 2. वलय Z 5 और Z 6 में सभी आदर्शों की सूची बनाएं।
• 3. साबित करें कि दो उप-रिंगों का प्रतिच्छेदन एक उप-क्षेत्र है, दो उप-क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन एक उप-क्षेत्र है, और दो आदर्शों का प्रतिच्छेदन एक आदर्श है।
• 4. बहुपद वलय Z[x] और Q[x] में, ऐसे उपवलय खोजें जो आदर्श नहीं हैं।
• 5. सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र वाले सभी उपक्षेत्रों को खोजें।
• 6. मैदान में Р = (а + bф2 a, b e Q) Q वाले सभी उपक्षेत्र ढूंढें।

एनोटेशन: यह व्याख्यान छल्लों की अवधारणाओं पर चर्चा करता है। वलय तत्वों की मूल परिभाषाएँ और गुण दिए गए हैं, और साहचर्य वलय पर विचार किया गया है। कई विशिष्ट समस्याओं पर विचार किया जाता है, मुख्य प्रमेयों को सिद्ध किया जाता है, और स्वतंत्र विचार के लिए समस्याएं दी जाती हैं

रिंगों

दो बाइनरी ऑपरेशंस (जोड़ + और गुणा) के साथ एक सेट आर कहा जाता है इकाई के साथ साहचर्य वलय, अगर:

यदि गुणन संक्रिया क्रमविनिमेय है, तो वलय कहलाता है विनिमेयअँगूठी। क्रमविनिमेय वलय क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन की मुख्य वस्तुओं में से एक हैं।

नोट्स 1.10.1.

उदाहरण 1.10.2 (साहचर्य वलय के उदाहरण).

अवशेषों का समूह हम पहले ही देख चुके हैं (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, मॉड्यूलो एन अतिरिक्त ऑपरेशन के साथ, एक क्रमविनिमेय समूह है (उदाहरण 1.9.4, 2 देखें))।

आइए सेटिंग द्वारा गुणन संक्रिया को परिभाषित करें। आइए इस ऑपरेशन की सत्यता की जाँच करें। यदि C k =C k" , C l =C l" , तो k"=k+nu , l"=l+nv , और इसलिए C k"l" =C kl ।

क्योंकि (सी के सी एल)सी एम =सी (केएल)एम =सी के(एलएम) =सी के (सी एल सी एम), सी के सी एल =सी केएल =सी एलके =सी एल सी के, सी 1 सी के =सी के =सी के सी 1, (सी के +सी एल)सी एम =सी (के+एल)एम =सी किमी+एलएम =सी के सी एम +सी एल सी एम, तो इकाई सी 1 अवशेष रिंग मोडुलो एन के साथ एक साहचर्य क्रमविनिमेय रिंग है)।

छल्लों के गुण (R,+,.)

लेम्मा 1.10.3 (न्यूटन का द्विपद). मान लीजिए कि R 1 , , के साथ एक वलय है। तब:

सबूत।

परिभाषा 1.10.4. वलय R के उपसमुच्चय S को कहा जाता है सबरिंग, अगर:

ए) समूह (आर,+) में शामिल होने के संबंध में एस एक उपसमूह है;

बी) हमारे पास है;

सी) 1 के साथ एक रिंग आर के लिए यह माना जाता है कि।

उदाहरण 1.10.5 (उपरिंग्स के उदाहरण).

समस्या 1.10.6. अवशेष वलय Zn modulo n में सभी उप-वलयों का वर्णन करें।

नोट 1.10.7. वलय Z 10 में, 5 के गुणज तत्व 1 के साथ एक वलय बनाते हैं, जो Z 10 में एक उप-वलय नहीं है (इन छल्लों में अलग-अलग इकाई तत्व होते हैं)।

परिभाषा 1.10.8. यदि R एक वलय है, और, ab=0, तो तत्व a को R में बायां शून्य भाजक कहा जाता है, तत्व b को R में दायां शून्य भाजक कहा जाता है।

नोट 1.10.9. क्रमविनिमेय वलय में, निश्चित रूप से, बाएँ और दाएँ शून्य भाजक के बीच कोई अंतर नहीं है।

उदाहरण 1.10.10. Z, Q, R में कोई शून्य भाजक नहीं हैं।

उदाहरण 1.10.11. सतत फलन C के वलय में शून्य विभाजक होते हैं। वास्तव में, यदि

फिर , , fg=0 .

उदाहरण 1.10.12. यदि n=kl , 1

लेम्मा 1.10.13. यदि वलय R में कोई (बाएँ) शून्य भाजक नहीं हैं, तो ab=ac से, कहाँ , , यह इस प्रकार है कि b=c (अर्थात्, यदि कोई बायां शून्य भाजक नहीं है तो बाईं ओर एक गैर-शून्य तत्व द्वारा रद्द करने की क्षमता; और यदि कोई दायां शून्य भाजक नहीं है तो दाईं ओर)।

सबूत। यदि ab=ac , तो a(b-c)=0 । चूँकि a बायां शून्य भाजक नहीं है, तो b-c=0, यानी b=c।

परिभाषा 1.10.14. तत्व कहा जाता है निलपोटेंट, यदि कुछ के लिए x n =0 . सबसे छोटी प्राकृत संख्या n कहलाती है किसी तत्व की शून्यशक्ति की डिग्री .

यह स्पष्ट है कि एक शून्यशक्तिशाली तत्व एक शून्य विभाजक है (यदि n>1 है तो , ). विपरीत कथन सत्य नहीं है (Z 6 में कोई शून्यशक्तिशाली तत्व नहीं हैं, लेकिन 2, 3, 4 शून्य के गैर-शून्य विभाजक हैं)।

अभ्यास 1.10.15. रिंग Z n में निलपोटेंट तत्व शामिल हैं यदि और केवल यदि n, m 2 से विभाज्य है, जहां,।

परिभाषा 1.10.16. वलय R का तत्व x कहलाता है निष्क्रिय, यदि x 2 =x . स्पष्ट है कि 0 2 =0, 1 2 =1. यदि x 2 =x और , तो x(x-1)=x 2 -x=0, और इसलिए गैर-तुच्छ निष्क्रियता शून्य विभाजक हैं।

U(R) द्वारा हम साहचर्य वलय R के व्युत्क्रमणीय तत्वों के समुच्चय को निरूपित करते हैं, अर्थात वे जिनके लिए एक व्युत्क्रम तत्व s=r -1 है (अर्थात् rr -1 =1=r -1 r )।

कारकों की संख्या.

उदाहरण 2.23. "पंद्रह का खेल": 16 फ़ील्ड में विभाजित एक वर्गाकार बोर्ड पर, 15 चिप्स रखे गए हैं, जिनकी संख्या 1 से 15 तक है और पूरे संबंधित फ़ील्ड पर कब्जा कर लिया गया है। एक मुक्त क्षेत्र का उपयोग करके चिप्स को क्षैतिज और लंबवत रूप से घुमाकर, आपको बोर्ड को स्थिति (1) (चित्र 2) में लाना होगा।

चित्र 2

यह दिखाया जा सकता है कि समस्या तभी हल हो सकती है यदि

सेटिंग एफ

के 15

क्या स्थिति को वापस लाना संभव है?

बोर्ड (चित्र 3) बताने के लिए (1)?

चित्र तीन

के 15

= (12 )(3 )(4 )के (15 )= (12 ),

प्रतिस्थापन

के 15

यहां तक ​​की नतीजतन, जिस समस्या के लिए लगभग 130 साल पहले बड़े नकद पुरस्कार की पेशकश की गई थी, उसका कोई समाधान नहीं है।

2.8. आरएसए क्रिप्टोसिस्टम

20वीं सदी के गणित में समूह की अवधारणा को मौलिक माना जाता है। समूहों का व्यापक रूप से भौतिकी (क्रिस्टलोग्राफी से लेकर प्राथमिक कणों के सिद्धांत तक), रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और सूचना सिद्धांत में उपयोग किया जाता है। जानकारी को अनधिकृत पहुंच से बचाने के नवीनतम तरीकों को समूह विधियां कहा जाता है, क्योंकि वे एक समूह की अवधारणा पर आधारित हैं। एक उल्लेखनीय उदाहरण आरएसए क्रिप्टोसिस्टम है, जिसे 1977 में अमेरिकी शोधकर्ताओं रिवर द्वारा प्रस्तावित किया गया था

सेंट, शमीर और एडलमैन (रिवरस्ट आर.एल., शमीर ए., एडलमैन एल.)। इसका सार इस प्रकार है.

दो बड़ी अभाज्य संख्याएँ (60-70 दशमलव स्थान) p और g ज्ञात कीजिए। उनके उत्पाद n = p g की गणना की जाती है। फिर (यूलर फ़ंक्शन के गुण 3, 1)

ϕ (एन) = ϕ (पी जी) = ϕ (पी) ϕ (पी) = (पी - 1) (जी - 1)। एक प्राकृत संख्या e, 0 निश्चित है< e < n , НОД (e , ϕ (n )) = 1 . Пара (e , n ) называется открытым ключом. Переда-

एकत्र की जा रही जानकारी को डिजिटल रूप में परिवर्तित किया जाता है (मूल स्रोत में, लैटिन वर्णमाला के अक्षरों को दो अंकों की संख्याओं से बदल दिया जाता है: "ए" = 01, "बी" = 02, और इसी तरह

संख्या एम ≡ सी ई (मॉड एन) . इस प्रकार, m वलय Z/nZ में संख्या c की ई-वीं शक्ति है। प्राप्तकर्ता को संदेश एम प्राप्त होता है। वह, हर किसी की तरह, n और e के मूल्यों को जानता है। वह

एम को एन्क्रिप्ट करने के लिए, प्राप्तकर्ता को एम को डीटीएच पावर मोडुलो एन तक बढ़ाना होगा। यह एक सरल कार्य है.

संदेश m को डिक्रिप्ट करने के लिए एक इंटरसेप्टर को n: n = pq कारक होना चाहिए। फिर ϕ (n) की गणना की जाती है और d आसानी से खुले में पाया जाता है

कुंजी ई. यह कुंजी n का गुणनखंडन है जो प्रस्तावित क्रिप्टोसिस्टम की मुख्य जटिलता का गठन करता है। जैसा कि पहले खंड में उल्लेख किया गया है, एक प्राकृतिक संख्या का गुणनखंड स्पष्ट रूप से n में एक घातांकीय समस्या है, जो सभी संभावित उम्मीदवार कारकों को आज़माने के बराबर है।

अपने क्रिप्टोसिस्टम की ताकत को प्रदर्शित करने के लिए, आविष्कारकों ने 129-अंकीय संख्या को n और 4-अंकीय संख्या को e के रूप में उपयोग करके अपने संदेश को एन्क्रिप्ट किया। उनका संदेश m एक 128 अंकों की संख्या थी। विश्व-प्रसिद्ध अमेरिकी पहेली विशेषज्ञ एम. गार्डनर ने अगस्त 1977 में साइंटिफिक अमेरिकन पत्रिका में इस क्रिप्टोटेक्स्ट को प्रकाशित किया, और इसे समझने वाले किसी भी व्यक्ति को 1,000 डॉलर की पेशकश की। पाठ को केवल अप्रैल 1994 में समझा गया था। 129-अंकीय संख्या n को 64- और 65-अंकीय कारकों p और q में विघटित किया गया था। संख्या n के प्रत्यक्ष गुणनखंडन में गणना में डेढ़ वर्ष का समय लगा। इसके बाद मैसेज को डिकोड करना मुश्किल नहीं रहा.

2.9. छल्ले. अंगूठियों के उप-अंगूठे और आदर्श

परिभाषा 2.18. एक रिंग एक गैर-रिक्त सेट K है जिसमें जोड़ (+) और गुणा () के दो द्विआधारी बीजीय संचालन होते हैं; जोड़ के संचालन के संबंध में, K एक एबेलियन समूह है, और गुणा और जोड़ वितरण के नियमों से संबंधित हैं:

(ए + बी) सी = ए सी + बी सी; ए (बी + सी) = एबी + एसी मनमाना ए, बी, सी के के लिए।

उदाहरण 2.24. (Z , +,) पूर्णांकों का एक वलय है।

उदाहरण 2.25. (जेड /एनजेड, +,) - अवशेष वर्गों का वलय मॉड्यूलो एन > 1। उदाहरण 2.26। किसी दिए गए क्रम n के सभी वर्ग आव्यूहों का समुच्चय

मैट्रिक्स जोड़ और गुणन के संचालन के संबंध में तर्कसंगत, वास्तविक या जटिल गुणांक। इन छल्लों के लिए आम तौर पर स्वीकृत पदनाम हैं: क्रमशः एम एन (क्यू), एम एन (आर), एम एन (सी)।

अंगूठियों की विविधता अत्यंत विस्तृत है। तत्वों की संख्या के अनुसार, वलय को परिमित (उदाहरण 2.25) और अनंत (उदाहरण 2.24, 2.26) में विभाजित किया गया है। छल्लों का मुख्य वर्गीकरण उनके गुणन गुणों पर आधारित है।

परिभाषा 2.19. एक वलय K को साहचर्य वलय कहा जाता है यदि

इस पर परिभाषित गुणन संक्रिया में यह गुण है: (ab) c = a(bc) मनमाना a, b, c K के लिए।

एक वलय K को एक इकाई वलय कहा जाता है यदि यह साहचर्य है और इसमें गुणन संक्रिया के संबंध में एक तटस्थ तत्व है।

एक वलय K को क्रमविनिमेय कहा जाता है यदि मनमाना a, b K के लिए ba = ab हो।

प्रमेय 2.16. मान लीजिए कि K पहचान के साथ एक साहचर्य वलय है। वलय K के तत्वों का समुच्चय K* जो गुणन के अंतर्गत व्युत्क्रमणीय है, एक समूह है (इसे वलय K का गुणक समूह कहा जाता है)।

उदाहरण 2.27. यह देखना आसान है कि पूर्णांकों के वलय में गुणन के अंतर्गत केवल दो संख्याएँ व्युत्क्रमणीय होती हैं: 1 और -1। इसलिए, Z * = ( 1,− 1) .

उदाहरण 2.28. एम एन (आर) * = जीएल एन (आर)।

उदाहरण 2.29. अवशेष वर्ग Z /nZ modulo n के वलय के गुणक समूह (Z /nZ )* में मापांक के पूर्णांक सहअभाज्य द्वारा उत्पन्न ϕ (n) वर्ग होते हैं।

परिभाषा 2.20. यदि रिंग K में पहचान के साथ गुणक समूह K* = K \ ( 0 ) है, तो रिंग K को डिवीजन रिंग या डिवीजन बीजगणित कहा जाता है। आयोग

परिवर्तनशील निकाय को क्षेत्र कहा जाता है।

उदाहरण 2.30. निम्नलिखित वलय फ़ील्ड हैं: a) Q - परिमेय संख्याओं का वलय;

बी) आर - वास्तविक संख्याओं की अंगूठी;

ग) सी - सम्मिश्र संख्याओं का वलय;

डी) जेड /पीजेड - अवशेष वर्गों मॉड्यूलो पी की अंगूठी।

परिभाषा 2.21. रिंग K का एक उप-रिंग योगात्मक समूह (K, +) का एक उपसमूह है, जो बदले में एक रिंग है, यानी रिंग K में गुणन के संचालन के तहत बंद है।

उदाहरण 2.31. (nZ , +,) - पूर्णांकों के वलय Z का उपवलय; Z, परिमेय संख्याओं के वलय Q का एक उप-वलय है; Q वास्तविक संख्याओं के वलय R का एक उपवलय है। उनमें से पहला एक इकाई रहित वलय है, हालाँकि वलय Z में स्वयं एक इकाई है।

सामान्य स्थिति में, सबरिंग्स व्यावहारिक रूप से रिंगों के गुणों को प्राप्त नहीं करते हैं। इसलिए, वलय के सिद्धांत में, एक विशेष प्रकार के उप-रिंग्स - आदर्श - का सबसे बड़ा महत्व है।

परिभाषा 2.22. रिंग K के एक उपरिंग J को रिंग K का बायाँ आदर्श कहा जाता है यदि किसी k K के लिए और प्रत्येक j J के लिए उत्पाद jk J है, तो

वहाँ जेके जे है. यदि kJ J सभी तत्वों के लिए k K है, तो J को सही आदर्श कहा जाता है। दोतरफा आदर्श एक ऐसा आदर्श है जो बाएँ और दाएँ दोनों आदर्श है।

यह स्पष्ट है कि क्रमविनिमेय वलय में सभी आदर्श दोतरफा होते हैं।

उदाहरण 2.32. mZ = ( mg | g Z ) - पूर्णांकों के वलय का दो-तरफा आदर्श

प्रत्येक प्राकृतिक एम के लिए सैट जेड। जाहिर है, mZ ≠ Z यदि m > 1. यह स्पष्ट है कि

2 z > 4 z > 8 z > 16 z >K ; 2 z > 6 z > 12 z >K .

उदाहरण 2.33. समग्र मापांक n = pq, p > 1, q > 1 के साथ रिंग Z /nZ में, यह देखना आसान है कि अवशेष वर्गों का सेट (p, 2 p,K, (q- 1) p,0) है बंद किया हुआ

अवशेष वर्गों के जोड़ और गुणन के संचालन के संबंध में, और इसलिए, एक उपरिंग बनता है। आइए इसे Jp से निरूपित करें। यह देखना आसान है कि जे पी एक आदर्श हैं।

इसी प्रकार, आदर्श समुच्चय J q = ( q , 2q ,K ,(p − 1) q ,0) है।

उदाहरण 2.34. किसी भी रिंग K में, सेट (0) और K औपचारिक रूप से रिंग K के आदर्श भी हैं। बाकी उचित आदर्शों के विपरीत उन्हें अनुचित या तुच्छ कहा जाता है।

प्रमेय 2.17. 1. किसी दिए गए वलय K के आदर्शों का प्रतिच्छेदन उसी वलय का एक आदर्श है।

रिंग K का J 1, J 2 उसी रिंग का बायां (दायां) आदर्श है।

4. रिंग K के प्रत्येक तत्व a के लिए, सेट aK = (ak | k K) रिंग K का बायां आदर्श है।

5. यदि एक रिंग K में पहचान के साथ एक तत्व K * है, तो a = K; यदि K * है, तो a वलय K का उचित आदर्श है।

6. यदि K एक क्रमविनिमेय वलय है और अपरिवर्तनीय तत्वों a, b, c K के लिए a = bc है, तो ac, ab।

प्रमाण में आदर्शों के सभी सिद्धांतों का प्रत्यक्ष सत्यापन शामिल है।

परिभाषा 2.23. वलय K के बाएँ प्रमुख आदर्श a द्वारा उत्पन्न

तत्व a K, प्रमेय 2.17 के चौथे पैराग्राफ से आदर्श है, अर्थात, रिंग K का एक उपरिंग जिसमें सभी तत्व ak, k K शामिल हैं। सही मुख्य

आदर्श a में सभी तत्व ka, k K शामिल हैं।

प्रमेय 2.18. पूर्णांक Z के वलय में, प्रत्येक आदर्श J प्रमुख है।

प्रत्येक रिंग के आदर्शों के सेट पर सेट के रूप में एक दूसरे में शामिल होने के अनुसार आंशिक क्रम संबंध होता है। अधिकतम आदर्श एक विशेष भूमिका निभाते हैं।

परिभाषा 2.24. रिंग K के एक आदर्श M (बाएँ, दाएँ, दो-तरफा) को अधिकतम कहा जाता है यदि K के पास M J स्थिति के साथ अपना स्वयं का आदर्श J नहीं है।

प्रमेय 2.19. पूर्णांकों के वलय में, आदर्श J अधिकतम होता है यदि और केवल तभी जब कोई अभाज्य संख्या p मौजूद हो जैसे कि J = p।

2.10. बहुपद वलय में विभाज्यता

मान लीजिए कि P एक क्षेत्र है, अर्थात, पहचान के साथ एक मनमाना क्रमविनिमेय वलय है, जिसमें सभी गैर-शून्य तत्व व्युत्क्रमणीय हैं, दूसरे शब्दों में,

मान लीजिए P [x] सामान्य से P के गुणांकों वाले बहुपदों का एक वलय है

बहुपदों के जोड़ और गुणन की संक्रियाएँ। अपने गुणों में, बहुपद पूर्णांकों के करीब होते हैं। उदाहरण के लिए, जहां तक ​​पूर्णांकों का सवाल है, यह होता है

प्रमेय 2.20 (शेषफल के साथ विभाजन के बारे में)। किन्हीं दो बहुपदों के लिएरिंग P[x] से f(x) और g(x) ≠ 0 वहाँ केवल एक बहुपद हैंक्यू(एक्स)

और r (x), जैसे कि f (x) = g (x) q (x) + r (x), और r (x) = 0 या r (x) की डिग्री g की डिग्री से कम है ( एक्स)।

परिभाषा 2.25. प्रमेय 2.20 की शर्तों के तहत, बहुपद q (x) को भागफल कहा जाता है, और बहुपद r(x) को g (x) द्वारा f (x) के विभाजन का शेषफल कहा जाता है। यदि r(x) = 0 है, तो f (x) को g (x) से विभाज्य कहा जाता है, और g (x) और q (x) को बहुपद f (x) का विभाजक या गुणनखंड कहा जाता है।

यदि समानता f (x) = g (x) q (x) में गुणनखंडों की डिग्री 1 से कम नहीं है, तो q (x) और g (x) बहुपद f (x) के गैर-तुच्छ विभाजक कहलाते हैं।

जाहिर है, क्षेत्र P का प्रत्येक गैर-शून्य तत्व वलय P[x] से किसी भी बहुपद का विभाजक है। इसलिए, क्षेत्र तत्वों को बहुपदों का तुच्छ विभाजक कहा जाता है।

प्रमेय 2.21. बहुपद वलय P[x] में व्युत्क्रमणीय बहुपद

घात शून्य के बहुपद हैं, शून्य से भिन्न, और केवल वे, अर्थात्, P [ x ] * = P *।

परिभाषा 2.26. बहुपद f 1 (x), f 2 (x), K, f 5 (x) का सबसे बड़ा सामान्य भाजक उच्चतम गुणांक वाला उनका सामान्य भाजक है

खंड 1, जो किसी अन्य सामान्य भाजक द्वारा विभाज्य है। यह नामित है

GCD(f1 (x) , f2 (x) , K , fs (x)) .

जीसीडी खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम, पहले खंड 1 में चर्चा की गई थी

पूर्णांकों के लिए, बहुपदों के लिए भी सत्य है।
प्रमेय 2.22. बहुपद f(x) और g(x) का सबसे बड़ा सामान्य भाजक
वलय P[ x] (क्षेत्र P से कारकों तक) अंतिम के साथ मेल खाता है
समानता की निम्नलिखित श्रृंखला का गैर-शून्य शेष r n (x):
( एफ (एक्स) = जी(एक्स) क्यू1					(एक्स )+ आर 1				(एक्स);
( g(x) = r (x) q					(एक्स )+ आर					(एक्स);
( आर (एक्स) = आर		(x)q					आर(एक्स);
(क्ककककककक)।
	(एक्स)=आर			(x)q				(एक्स)+ आर(एक्स);
एन− 2		n− 1
(आर एन - (एक्स) = आर एन (एक्स) क्यू एन + 1 (एक्स)।
उदाहरण 2.35. यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके, सबसे बड़ा सामान्य खोजें

वलय Q[x] में बहुपद f (x) = 2 x 4 + 5 x 3 - 8 x 2 - 17 x - 6 और g (x) = x 3 + 4 x 2 - x - 4 का भाजक।

समाधान। "कोने" के साथ अनुक्रमिक विभाजन द्वारा हम यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म की समानता की निम्नलिखित श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

एफ (एक्स) = जी(एक्स) क्यू				(एक्स) + आर(एक्स) जहां			क्यू (एक्स) = 2 एक्स - 3, आर (एक्स) = 6 एक्स2			− 12x − 18 ,
जी(एक्स) = आर	(x)q		(x) r 2 (x)q 3 (x)+ r 3 (x), जहां q 3 (x)= 7 3 (x - 3), अर्थात, r 1 (x)= 6 (x + 1) ( एक्स − 3 ). प्रमेय 2.22 के अनुसार, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक स्थिरांक तक प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, जीसीडी(एफ (एक्स) , जी(एक्स)) = एक्स + 1 . परिभाषा 2.27. बहुपद f (x) और g (x) को सहअभाज्य कहा जाता है mi यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है। यूक्लिडियन एल्गोरिदम को पीछे की ओर (पूर्णांकों के समान) चलाकर, हम दो बहुपदों की सापेक्ष सरलता के लिए एक मानदंड प्राप्त करते हैं। प्रमेय 2.23. बहुपद f (x) और g (x) सहअभाज्य हैं यदि और केवल यदि बहुपद u(x) , v(x) हैं जिसके लिए निम्नलिखित समानता रखती है (बहुपदों के लिए बेज़ाउट का संबंध): f (x) u (x) + g (x) v (x) = 1. इस मानदंड का उपयोग करके, कई परिणाम प्राप्त होते हैं जिनका स्वतंत्र महत्व होता है। आइए इन्हें अलग-अलग बयानों के रूप में प्रस्तुत करें। कथन 2.1. यदि एक बहुपद f (x) प्रत्येक बहुपद ϕ (x) और ψ (x) के साथ सहअभाज्य है, तो यह उनके गुणनफल के साथ सहअभाज्य है। कथन 2.2. यदि बहुपद f (x) और g (x) का गुणनफल बहुपद ϕ (x) से विभाज्य है, लेकिन gcd (f (x), ϕ (x)) = 1 है, तो g (x) ϕ ( एक्स)। कथन 2.3. यदि बहुपद f (x) प्रत्येक जोड़ीदार सहअभाज्य बहुपद ϕ 1 (x), ϕ 2 (x), K, ϕ m (x) से विभाज्य है, तो f (x) भी उनसे विभाज्य है उत्पाद ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) K ϕ m (x)। परिभाषा 2.28. घात n ≥ 1 के एक बहुपद f (x) P [ x ] को रिंग P[ x] में इरेड्यूसिबल कहा जाता है यदि इसके किसी भी प्रतिनिधित्व में उत्पाद f (x) = g (x) q (x) कारकों के रूप में होता है जी(एक्स) , क्यू(एक्स) पी[ एक्स] इनमें से एक कारक है एक स्थिरांक है, अर्थात, क्षेत्र P का एक तत्व। अघुलनशील बहुपदों की संरचना काफी हद तक क्षेत्र पर निर्भर करती है पी. अगर पी= सीसम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र है, फिर अघुलनशील बहुपदों द्वारा सी[ एक्स] मुख्य प्रमेय के अनुसार केवल प्रथम डिग्री के बहुपद हैं बीजगणित यह रिंग में इस प्रकार है आर[ एक्स] केवल पहली डिग्री के बहुपद, साथ ही नकारात्मक विभेदक वाले दूसरी डिग्री के बहुपद, अपरिवर्तनीय हैं। जहाँ तक अंगूठी की बात है क्यू[ एक्स] , फिर यहां प्रत्येक प्राकृतिक के लिए एन≥ 1 डिग्री के अपरिवर्तनीय बहुपद मौजूद हैं (और अनंत रूप से कई)। एन. उदाहरण के लिए, ये बहुपद हैं एक्सएन± पी, कहाँ पी– अभाज्य संख्या सह- निम्नलिखित मानदंड के अनुसार. प्रमेय 2.24 (ईसेनस्टीन मानदंड)। होने देना एफ (एक्स ) = ए एनएक्स एन+ ए एन− 1 एक्स एन− 1 +के+ए 1 एक्स + ए 0 – घात n का बहुपद > 1 पूर्णांक गुणांकों के साथ और p एक ऐसी अभाज्य संख्या है एमैं≡ 0 (आधुनिकपी) सबके लिए मैं < एन, लेकिन एएन p, और से विभाज्य नहीं है ए0 से विभाज्य नहीं है पी2 . तब एफ(एक्स) - एक रिंग में अपरिवर्तनीय क्यू[ एक्स] बहुपद