Onko numero n rationaalinen positiivinen. Neliöjuuri. Arvioitu neliöjuuri

Voimassa olevat numerot II

39 § Neliöjuurten erottaminen rationaalisista numeroista

Kuten tiedämme, rationaalilukujoukossa kertolasku on aina mahdollista. Erityisesti tuote määritellään m / n m / n   . Tätä tuotetta kutsutaan numeron neliöksi m / n   ja sitä merkitään ( m / n ) 2:

( m / n ) 2 = m / n m / n

Siten, jos tietty luku on rationaalinen, niin sen neliö on myös rationaalinen luku. Tämä luku on selvästi positiivinen. Ja nyt esitämme käänteisen ongelman: onko jokainen positiivinen rationaaliluku jonkin rationaalisen luvun neliö? Algebrallisten yhtälöiden kielellä tämä ongelma voidaan muotoilla seuraavasti. Yhtälö annetaan

x 2   \u003d a ,

jossa ja   on jokin positiivinen rationaaliluku, ja x   - tuntematon arvo. Kysymys kuuluu: onko tämän yhtälön juuret aina erilaiset? Vastaus tähän kysymykseen on kieltävä. Järkevä numero ja   voidaan valita niin, että yhtälö x 2   \u003d a ei ole yhtä rationaalista juuria. Seuraava lause vakuuttaa meidät etenkin tästä.

Lause.Ei ole mitään rationaalista lukua, jonka neliö on 2.

Todiste tehdään päinvastaisella menetelmällä. Oletetaan, että on olemassa rationaalinen luku m / n   jonka neliö on 2: ( m / n ) 2 = 2.

Jos kokonaislukuja t   ja n   on samat tekijät, sitten murto m / n   voidaan lyhentää. Siksi meillä on alusta alkaen oikeus olettaa, että murto-osa m / n   redusoitumatonta.

Kunnosta ( m / n ) 2 \u003d 2 merkitsee sitä

t 2 = 2n 2 . .

Koska numero 2 n   2 on parillinen, sitten numero t   2: n on oltava tasainen. Mutta silloin numero on tasainen t . (Todista se!) Joten t = 2k jossa k   on jokin kokonaisluku. Korvataan tämä lauseke t   kaavaan t 2 = 2n   2 saamme: 4 k 2 = 2n   2 missä

n 2 =2k 2 .

Tässä tapauksessa numero n   2 on tasainen; mutta silloin luvun on oltava parillinen n . Osoittautuu, että numerot t   ja   n jopa. Ja tämä on ristiriidassa sen tosiasian kanssa, että murto-osa m / n   redusoitumatonta. Siksi alkuperäinen olettamuksemme murtoluvun olemassaolosta m / n   täyttää ehto ( m / n ) 2 \u003d 2., on väärä. Vielä on tunnustettava, että kaikkien rationaalisten lukujen joukossa ei ole ketään, jonka neliö on yhtä suuri kuin 2. Siksi yhtälö

x 2 = 2

joukossa järkevä   numerot ovat päättämättömiä. Samanlainen johtopäätös voitaisiin tehdä monista muista muodon yhtälöistä

x 2 = ja ,

jossa ja on positiivinen kokonaisluku. Siitä huolimatta kahdeksannessa luokassa puhuimme toistuvasti tällaisten yhtälöiden juurista. Ja yhtälön positiiviseen juureen x 2 = ja   annoimme jopa erityisen nimen ”neliöjuuri ja ”Ja esitteli sille erityisen nimityksen: √ .

Joten √2 ei kuulu rationaalisiin lukuihin. Mutta miten sitten voidaan karakterisoida √2? Muista vastata tähän kysymykseen muistamalla sääntö neliöjuurten purkamisesta. Numeroon 2 nähden tämä sääntö antaa:

Juurin purkamisprosessi ei tässä tapauksessa voi päättyä mihinkään vaiheeseen. Muutoin √2 olisi yhtä suuri kuin jokin äärellinen desimaalijae ja siksi se olisi rationaalinen luku. Ja tämä on ristiriidassa edellä todistetun lauseen kanssa. Siten, kun uutetaan 2: n neliöjuuri, saadaan ääretön desimaalijae. Tämä murto-osa ei voi olla jaksollinen, muuten se, kuten mikä tahansa muu ääretön jaksollinen osio, voidaan esittää kahden kokonaisluvun suhteena. Ja tämä on myös ristiriidassa edellä todistetun lauseen kanssa. Siten √2: ta voidaan pitää äärettömänä jaksottomana desimaalilukuna.

Joten äärettömille jaksottamattomille desimaalijakeille meitä johdattaa esimerkiksi toiminta, joka purkaa juuret kokonaisluvuista.

Seuraavissa kappaleissa tarkastellaan toista ongelmaa, jolla yleisesti ottaen ei ole mitään tekemistä juurten erottamisen kanssa, mutta joka johtaa myös äärettömiin jaksottaisiin desimaalimurtoihin.

harjoitukset

305. Ilmoita useita luonnollisia lukuja, joiden neliöjuuret ovat rationaaliluvut.

306. Todista, että jos luonnollisen luvun neliöjuuri on rationaaliluku, niin tämä rationaaliluku on varmasti kokonaisluku.

307. Todista, että yhtälö x   3 \u003d 5 rationaalilukujoukossa ei ole juuria.

Olemme jo osoittaneet, että $ 1 \\ frac25 $ on lähellä dollaria \\ sqrt2 $. Jos se vastasi tarkalleen $ \\ sqrt2 $ ,. Sitten suhde on $ \\ frac (1 \\ frac25) (1) $, joka voidaan muuttaa kokonaislukujen $ \\ frac75 $ suhteeksi, kertomalla murto-osan ylä- ja alaosa 5: llä, ja tämä olisi haluttu arvo.

Mutta valitettavasti $ 1 \\ frac25 $ ei ole tarkka arvo $ \\ sqrt2 $. Tarkempi vastaus on $ 1 \\ frac (41) (100) $, antaa meille suhteen $ \\ frac (141) (100) $. Saavutamme vielä suuremman tarkkuuden, kun $ \\ sqrt2 $ verrataan arvoon $ 1 \\ frac (207) (500) $. Tässä tapauksessa suhde kokonaislukuina on yhtä suuri kuin $ \\ frac (707) (500) $. Mutta $ 1 \\ frac (207) (500) $ ei ole 2: n neliöjuuren tarkka arvo. Kreikkalaiset matemaatikot käyttivät paljon aikaa ja vaivaa laskeakseen $ \\ sqrt2 $: n tarkan arvon, mutta he eivät onnistuneet. Ne eivät voineet edustaa suhdetta $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ kokonaislukujen suhteena.

Lopuksi, suuri kreikkalainen matemaatikko Euclid osoitti, että laskelmien tarkkuuden paranemisesta riippumatta on mahdotonta saada tarkkaa arvoa $ \\ sqrt2 $. Ei ole murto-osaa, joka neliönä johtaa tulokseen 2. He sanovat, että Pythagoras tuli ensimmäisenä tähän johtopäätökseen, mutta tämä selittämätön tosiasia iski tutkijaan niin paljon, että hän vannoi itsensä ja vannoi opiskelijoilleen vannon pitää tämä löytö salassa. . Ehkä nämä tiedot eivät ole totta.

Mutta jos lukua $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ ei voida esittää kokonaislukusuhteena, niin ketään, joka sisältää $ \\ sqrt2 $, esimerkiksi $ \\ frac (\\ sqrt2) (2) $ tai $ \\ frac (4) (\\ sqrt2) $ ei myöskään voida esittää kokonaislukujen suhteena, koska kaikki sellaiset murto-osat voidaan muuntaa arvoksi $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) $ kerrottuna jollakin numerolla. Joten $ \\ frac (\\ sqrt2) (2) \u003d \\ frac (\\ sqrt2) (1) \\ times \\ frac12 $. Tai $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) \\ kertaa 2 \u003d 2 \\ frac (\\ sqrt2) (1) $, joka voidaan muuntaa kertomalla ylä- ja alaosa $ \\ sqrt2 $: lla ja saadaksesi $ \\ frac (4) (\\ sqrt2) $. (Meidän ei pidä unohtaa, että kuinka monta numeroa \\ \\ sqrt2 $ on, jos kerrotaan se luvulla $ \\ sqrt2 $, saadaan 2.)

  Koska lukua $ \\ sqrt2 $ ei voida esittää kokonaislukujen suhteena, sitä kutsutaan irrationaalinen luku. Toisaalta kaikkia numeroita, jotka voidaan esittää kokonaislukujen suhteena, kutsutaan järkevä.

Rationaaliset ovat kaikki kokonaislukuja ja murto-osia, sekä positiivisia että negatiivisia.

Kuten kävi ilmi, useimmat neliöjuuret ovat irrationaalisia lukuja. Rationaaliset neliöjuuret ovat vain numeroita sarjassa neliönumeroita. Näitä lukuja kutsutaan myös ihanteellisiksi neliöiksi. Rationaaliluvut ovat myös murto-osia, jotka koostuvat näistä ihanteellisista neliöistä. Esimerkiksi $ \\ sqrt (1 \\ frac79) $ on rationaalinen luku, koska $ \\ sqrt (1 \\ frac79) \u003d \\ frac (\\ sqrt16) (\\ sqrt9) \u003d \\ frac43 $ tai $ 1 \\ frac13 $ (4 on juuri neliö 16 ja 3 on 9: n neliöjuuri).

Irrationaalinen luku   Eikä ole rationaalinen reaaliluku, ts. sitä ei voida esittää murtona \\ (\\ frac (m) (n) \\) (kahden kokonaisluvun suhteena), missä m   On kokonaisluku nOnko luonnollinen luku. Irrationaalinen luku voidaan esittää äärettömänä jaksottamattomana desimaalina.

Irrationaalisella numerolla ei voi olla tarkkaa arvoa. Esimerkiksi kahden neliöjuuri on irrationaalinen luku.

Irrationaalisten numeroiden joukko on merkitty isolla englanninkielisellä kirjaimella \\ (I \\).

Järjestelmä muodostuu rationaalisten ja irrationaalisten lukujen joukosta   todelliset luvut.Oikeiden lukujen joukko on merkitty kirjaimella \\ (R \\).

NeliöjuuriEi-negatiivinen luku (aritmeettinen neliöjuuri) \\ (a \\) on ei-negatiivinen luku siten, että sen neliö on \\ (a \\). \\ (\\ displaystyle (\\ sqrt (a) \u003d x, \\ ((x) ^ (2)) \u003d a; \\ x, a \\ ge 0) \\).

Tietyn luvun neliöjuuren likimääräiset arvot yhtenäisyyteen saakka ovat kaksi peräkkäistä luonnollista numeroa, joista ensimmäisen neliö on pienempi ja toisen neliö on suurempi kuin tämä luku.

Ensimmäistä näistä numeroista kutsutaan likimääräiseksi juuriarvoksi puutteella, toiseksi - likimääräiseksi juuriarvoksi ylimääräisenä.

Juuren likimääräiset arvot kirjoitetaan seuraavasti: \\ (\\ sqrt (10) \\ noin3 (\\ s \\ wk); \\ \\ sqrt (10) \\ approx4 (\\ s \\ h.) \\).

Esimerkki 1. Etsi likimääräinen arvo \\ (\\ sqrt3 \\) kahdella desimaalilla. Arvioimme radikaalilausekkeen 3 ensin kokonaislukuilla. 1< 3 < 4, то \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) или \(1<\sqrt3<2\) . Поэтому десятичная запись числа \(\sqrt3\) начинается с цифры 1, т. е. \(\sqrt3\approx1,...\) .

Löydä nyt kymmenesosa. Tätä varten neliöidaan desimaalimuodot 1,1; 1,2; 1,3; ... kunnes arvioimme jälleen radikaalia ilmaisua 3. sellaisilla lukuilla: Meillä on: 1,12 \u003d 1,21; 1,22 \u003d 1,44; 1,32 \u003d 1,69; 1,42 \u003d 1,96; 1,52 \u003d 2,25; 1,62 \u003d 2,56; 1,72 \u003d 2,89; 1,82 \u003d 3,24. Vuodesta 2.89< 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < \(\sqrt3\) < 1,8 . Значит, \(\sqrt3\approx1,7...\) .

Löydämme sadasosien lukumäärän neliöimalla peräkkäin desimaalimuodot 1,71; 1,72; 1,73; ..., radikaalin ilmaisun 3 uudelleenarviointi. Meillä on: 1 712 \u003d 2 9241; 1,722 \u003d 2,9584; 1,732 \u003d 2,9929; 1,742 \u003d 3,0276. Vuodesta 1 732< 3 < 1,742, то 1,73 < \(\sqrt3\) < 1,74. Поэтому \(\sqrt3\approx1,73\) .

Esimerkki 2 Laske \\ (\\ sqrt (138384) \\).

Ratkaisu: Katkaistaan \u200b\u200bpartaalla oleva numero: 13 "83" 84 - niitä on kolme, mikä tarkoittaa, että lopputuloksen tulisi olla kolminumeroinen luku. Tuloksen 3 ensimmäinen numero, koska 3 2< 13, тогда как 4 2 >   13. Vähentämällä 9 13: sta, saadaan 4. Määrittämällä seuraava kerros 4: lle, saamme   \u003d 483. Kun olemme kaksinkertaistaneet tuloksen olemassa olevan osan, eli luvun 3, saamme   \u003d 6. Nyt valitsemme niin suuren luvun xniin, että kaksinumeroisen numeron tulos kirves   päälle x   oli vähemmän kuin 483. Tämä luku on 7, koska 67 * 7 \u003d 469 on vähemmän kuin 483, kun taas 68 * 8 \u003d 544 on enemmän kuin 483. Joten tuloksen 7 toinen numero.

Vähentämällä 469 483: sta, saamme 14. Asettamalla viimeisen kasvot tälle numerolle oikealla puolella, saamme b   \u003d 1484. Tuloksen olemassa oleva osa kaksinkertaistetaan, ts numero 37, saamme B   \u003d 74. Nyt valitsemme niin suuren luvun yniin, että kolminumeroisen numeron tuote mennessä   päälle y   ei ylittänyt 1484. Tämä luku on 2, koska 742 * 2 \u003d 1484. Numero 2 on tuloksen viimeinen numero. Vastauksena saatiin 372.

\\ (\\ sqrt (138384) \u003d 372 \\).

Jos juuria ei poisteta, aseta annetun numeron viimeisen numeron jälkeen pilkku ja muodosta lisäpinnat, joista jokaisella on muoto 00. Tässä tapauksessa juurin purkamisprosessi on ääretön; se pysähtyy, kun vaadittu tarkkuus on saavutettu.