प्राकृतिक पूर्णांक। संख्या के प्रकार। प्राकृतिक, संपूर्ण, तर्कसंगत और वास्तविक

17.08.2019

प्राकृतिक संख्या की परिभाषा सकारात्मक पूर्णांक हैं। प्राकृतिक संख्या का उपयोग वस्तुओं और कई अन्य उद्देश्यों को गिनने के लिए किया जाता है। ये संख्याएं हैं: 1; 2; 3; 4; ...

यह संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला है।
शून्य एक प्राकृतिक संख्या है? नहीं, शून्य कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है।
कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं? अनंत संख्या में प्राकृतिक संख्याएं हैं।
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या क्या है? एक इकाई सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है।
सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक क्या है? यह निर्दिष्ट करना असंभव है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं की एक अनंत संख्या है।

प्राकृतिक संख्याओं का योग एक प्राकृतिक संख्या है। तो, प्राकृतिक संख्याओं का जोड़ a और b:

प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल एक प्राकृतिक संख्या है। तो, प्राकृतिक संख्या a और b का गुणनफल:

c हमेशा एक प्राकृतिक संख्या है।

प्राकृतिक संख्याओं का अंतर हमेशा एक प्राकृतिक संख्या नहीं होती है। यदि घटा घटा से अधिक है, तो प्राकृतिक संख्याओं का अंतर एक प्राकृतिक संख्या है, अन्यथा यह नहीं है।

प्राकृतिक संख्याओं का भागफल हमेशा एक प्राकृतिक संख्या नहीं होती है। यदि प्राकृतिक संख्याओं के लिए ए और बी

जहाँ c एक धनात्मक पूर्णांक है, इसका मतलब है कि b से विभाज्य है। इस उदाहरण में, a एक लाभांश है, b एक भाजक है, c एक भागफल है।

एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एक प्राकृतिक संख्या है जिसके द्वारा पहली संख्या पूरी तरह से विभाज्य होती है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को एक और एक से विभाजित किया जाता है।

प्राइम नेचुरल नंबरों को केवल एक और खुद से विभाजित किया जाता है। यहां, अर्थ, पूरी तरह से विभाजित हैं। उदाहरण, संख्या 2; 3; 5; 7 केवल और केवल एक से विभाजित होते हैं। ये प्रमुख प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

एक इकाई को एक प्रधान नहीं माना जाता है।

संख्याएँ जो एक से अधिक होती हैं और जो अभाज्य नहीं होती हैं उन्हें यौगिक कहा जाता है। यौगिक संख्या के उदाहरण: 4; 6; 8; 9; 10

एक इकाई को एक संयुक्त संख्या नहीं माना जाता है।

कई प्राकृतिक नंबरों में एक यूनिट, प्रिम्स और कंपाउंड नंबर शामिल होते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के सेट को लैटिन अक्षर एन द्वारा दर्शाया गया है।

प्राकृतिक संख्याओं के जोड़ और गुणन के गुण:

शिफ्टिंग प्रॉपर्टी ऑफ एडिशन

जोड़ की संपत्ति

(a + b) + c \u003d a + (b + c);

गुणन गुण

गुणन का संयोजन गुण

(ab) c \u003d a (bc);

गुणन का वितरण गुण

a (b + c) \u003d ab + ac;

पूर्णांकों

पूर्णांक प्राकृतिक संख्या, शून्य और प्राकृतिक संख्या के विपरीत संख्याएं हैं।

प्राकृतिक लोगों के विपरीत संख्याएं नकारात्मक पूर्णांक हैं, उदाहरण के लिए: -1; -2; -3; -4; ...

पूर्णांक के सेट को लैटिन अक्षर Z द्वारा दर्शाया गया है।

परिमेय संख्या

परिमेय संख्या पूर्णांक और अंश हैं।

किसी भी तर्कसंगत संख्या को आवधिक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण: -1, (0); 3, (6); 0, (0) ...

यह उदाहरणों से देखा जा सकता है कि कोई भी पूर्णांक शून्य की अवधि वाला एक आवधिक अंश है।

किसी भी परिमेय संख्या को भिन्न m / n के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है, n एक प्राकृतिक संख्या है। हम इस तरह के एक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं नंबर 3, (6) पिछले उदाहरण से: 22/6 \u003d 3, (6);

एक अन्य उदाहरण: एक परिमेय संख्या 9 को 18/2 या 36/4 के रूप में एक साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक अन्य उदाहरण: परिमेय संख्या -9 को एक साधारण अंश के रूप में -18/2 या -72/8 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

तर्कसंगत संख्याओं के समूह को लैटिन अक्षर Q द्वारा दर्शाया गया है।

अपरिमेय संख्या

अपरिमेय संख्या अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश हैं।

उदाहरण: pi \u003d 3.141592 ... e \u003d 2.718281 ...

वास्तविक संख्या

वास्तविक संख्याएँ सभी तर्कसंगत और सभी अपरिमेय संख्याएँ हैं।

वास्तविक संख्याओं के समूह को लैटिन अक्षर आर द्वारा दर्शाया गया है।

संख्या के प्रकार। प्राकृतिक, पूर्णांक, तर्कसंगत और वास्तविक। संख्या एक अमूर्त है जिसका उपयोग वस्तुओं की विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। वस्तुओं की गिनती के लिए लोगों की आवश्यकता के संबंध में आदिम समाज में संख्याएँ पैदा हुईं। समय बीतने के साथ, जैसे-जैसे विज्ञान विकसित होता गया, संख्या सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा में बदल गई।

समस्याओं को हल करने और विभिन्न प्रमेयों को साबित करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि किस प्रकार की संख्याएं हैं। मुख्य प्रकारों में शामिल हैं: प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ।

प्राकृतिक संख्या - ये वस्तुओं की प्राकृतिक गिनती द्वारा प्राप्त संख्याएं हैं, या बल्कि, जब वे क्रमांकित ("पहले", "दूसरे", "तीसरे ...) होते हैं। कई प्राकृतिक संख्याओं को एक लैटिन पत्र द्वारा निरूपित किया जाता है एन (अंग्रेजी शब्द प्राकृतिक पर आधारित याद किया जा सकता है)। हम ऐसा कह सकते हैं एन ={1,2,3,....}

पूर्णांकों सेट से नंबर हैं (0, 1, -1, 2, -2, ....)। इस सेट में तीन भाग होते हैं - प्राकृतिक संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) और संख्या 0 (शून्य)। इंटेगर एक लैटिन पत्र द्वारा इंगित किए गए हैं जेड। हम ऐसा कह सकते हैं जेड={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}.

परिमेय संख्या क्या संख्याओं को एक भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है। इसके अलावा, संख्या एम कहा जाता है मीटर, और संख्या n है भाजक अंशों। इस तरह के अंश को n से m को विभाजित करने के परिणाम के रूप में समझा जाना चाहिए, भले ही यह पूरी तरह से विभाजित करना संभव न हो। तर्कसंगत संख्याओं को इंगित करने के लिए, लैटिन अक्षर का उपयोग करें क्यू. क्यू \u003d{... ;-3;-2,5;-2;-1;0; ;1;2;3;3,5....}. सभी प्राकृतिक और पूर्णांक संख्याएं तर्कसंगत हैं। इसके अलावा, तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण के रूप में, एक का हवाला दिया जा सकता है: ,,। वास्तविक जीवन में, तर्कसंगत संख्याओं का उपयोग कुछ पूर्ण, लेकिन विभाज्य वस्तुओं के हिस्सों को गिनने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, केक या अन्य उत्पादों को कई भागों में काटा जाता है, या विस्तारित वस्तुओं के स्थानिक संबंधों के मोटे अनुमान के लिए।

असली (असली) संख्या क्या ऐसी संख्याएं हैं जिनका उपयोग निरंतर मात्रा को मापने के लिए किया जाता है। वास्तविक संख्याओं के सेट को लैटिन अक्षर आर द्वारा दर्शाया गया है। वास्तविक संख्या में तर्कसंगत संख्या और अपरिमेय संख्या शामिल हैं। परिमेय संख्याएं वे संख्याएं होती हैं, जिन्हें परिमेय संख्याओं के परिणामस्वरूप विभिन्न परिचालनों के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाता है (उदाहरण के लिए, जड़ को निकालना, लघुगणक की गणना), लेकिन वे तर्कसंगत नहीं हैं। अपरिमेय संख्या के उदाहरण हैं ,,,।

किसी भी वास्तविक संख्या को एक संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है:

उपरोक्त संख्याओं के सेट के लिए, निम्नलिखित कथन है:

यही है, कई पूर्णांक में कई प्राकृतिक संख्याएं शामिल हैं। कई पूर्णांक कई तर्कसंगत संख्याओं में शामिल हैं। और कई वास्तविक संख्या में कई तर्कसंगत संख्याएं शामिल हैं। इस कथन को यूलर सर्कल के साथ चित्रित किया जा सकता है।

उद्देश्य: यह जानना कि प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय संख्या, आवधिक अंश क्या है; एक साधारण अंश के रूप में एक अनंत दशमलव अंश को रिकॉर्ड करने में सक्षम होना; दशमलव और साधारण अंशों के साथ क्रिया करने में सक्षम होना।

1. अध्ययन सामग्री को समेकित करने के लिए, इस विषय पर काम के प्रकारों को बदलते हुए "पूर्णांक और तर्कसंगत संख्या"।
2. तार्किक सोच, सही और सक्षम गणितीय भाषण विकसित करने, विभिन्न प्रकार के काम करते समय उनके ज्ञान और कौशल में स्वतंत्रता और आत्मविश्वास के विकास के लिए दशमलव और साधारण अंशों के साथ क्रिया करने में कौशल विकसित करना।
3. विभिन्न प्रकार की सामग्री समेकन की शुरुआत करके गणित में रुचि बढ़ाने के लिए: मौखिक काम, एक पाठ्यपुस्तक के साथ काम करना, ब्लैकबोर्ड पर काम करना, सवालों के जवाब देना और आत्मनिरीक्षण करने की क्षमता, स्वतंत्र कार्य; छात्रों को उत्तेजित करना और प्रोत्साहित करना।

मैं संगठनात्मक क्षण।
द्वितीय। नया विषय:
"पूर्णांक और तर्कसंगत संख्या।"
1. सैद्धांतिक हिस्सा।
2. व्यावहारिक भाग।
3. पाठ्यपुस्तक और ब्लैकबोर्ड पर काम करें।
4. विकल्पों पर स्वतंत्र कार्य।
तृतीय। परिणाम।
1. सवालों के लिए।
चतुर्थ। घर का पाठ।

प्रक्रिया

I. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के लिए शिक्षक और छात्रों की भावनात्मक रवैया और इच्छा। संचार लक्ष्य और उद्देश्य।

द्वितीय। नया विषय: "पूर्णांक और तर्कसंगत संख्या":

सैद्धांतिक हिस्सा।

1. प्रारंभ में, केवल प्राकृतिक संख्याओं को संख्या के रूप में समझा जाता था। जो व्यक्तिगत वस्तुओं को गिनने के लिए पर्याप्त है।

सेट एन \u003d (1; 2; 3 ...) प्राकृतिक संख्या इसके अलावा और गुणन कार्यों के संबंध में बंद। इसका मतलब है कि प्राकृतिक संख्याओं का योग और उत्पाद प्राकृतिक संख्याएं हैं।

2. हालाँकि, दो प्राकृतिक संख्याओं का अंतर हमेशा एक प्राकृतिक संख्या नहीं होती है।

(उदाहरण दें: ५ - ५ \u003d ०; ५ - 2 \u003d - २, अंक ० और - २ स्वाभाविक नहीं हैं)।

तो, दो समान प्राकृतिक संख्याओं को घटाने का परिणाम शून्य की अवधारणा और परिचय की ओर जाता है गैर-नकारात्मक पूर्णांक के सेट

जेड 0 \u003d (0; 1; 2; ...)।

3. घटाव ऑपरेशन को संभव बनाने के लिए, नकारात्मक पूर्णांक दर्ज किए जाते हैं, अर्थात, प्राकृतिक लोगों के विपरीत संख्याएं। इसलिए बहुत सारे पूर्णांक प्राप्त करें Z \u003d{...; -3; -2; -1; 0; 1; 2;...}.

किसी भी संख्या में गैर-शून्य संभव द्वारा विभाजन के संचालन को बनाने के लिए, सभी पूर्णांक के सेट पर सभी सकारात्मक और नकारात्मक भिन्न के सेट को संलग्न करना आवश्यक है। परिणाम है कई तर्कसंगत संख्या क्यू \u003d.

परिमेय संख्याओं पर चार अंकगणितीय परिचालनों (शून्य को छोड़कर) को निष्पादित करते समय, परिमेय संख्या हमेशा प्राप्त होती है।

4. प्रत्येक परिमेय संख्या को आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

स्मरण करो जो है आवधिक अंश। यह एक अनंत दशमलव अंश है, जिसमें कुछ दशमलव से शुरू होने वाला अंक एक ही अंक या कई अंक दोहराया जाता है - अंश की अवधि। उदाहरण के लिए, 0.3333 ... \u003d 0, (3);

1,057373…=1,05(73).

इन अंशों को निम्नानुसार पढ़ा जाता है: "अवधि में 0 पूर्णांक और 3", "1 पूर्णांक, अवधि में 5 सौवें और 73"।

हम अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में परिमेय संख्याएँ लिखते हैं:

प्राकृतिक संख्या 25 \u003d 25.00 ... \u003d 25, (0);

पूर्णांक -7 \u003d -7.00 ... \u003d -7, (0);

(हम कोने विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं)।

5. रूपांतरण भी सत्य है: प्रत्येक अनंत आवधिक दशमलव अंश एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है, n एक प्राकृतिक संख्या है।

एक उदाहरण पर विचार करें:

1) Let x \u003d 0.2 (18) को 10 से गुणा करने पर, हमें 10x \u003d 2.1818 मिलता है ... (आपको अंश को 10 n से गुणा करने की आवश्यकता है, जहां n अवधि से पहले इस अंश के रिकॉर्ड में शामिल दशमलव स्थानों की संख्या है: x10 n)।

2) अंतिम समानता के दोनों किनारों को 100 से गुणा करना, हम पाते हैं

1000x \u003d 218.1818 ... (10 k से गुणा, जहां k, x 10 n 10 k \u003d x10 n + k) की अवधि में अंकों की संख्या है।

3) समानता (1) को समानता (2) से घटाकर, हम 990x \u003d 216, x \u003d प्राप्त करते हैं।

व्यावहारिक हिस्सा है।

1. दशमलव के रूप में रिकॉर्ड करें:

1) - बोर्ड पर;

3) - ब्लैकबोर्ड पर एक छात्र निर्णय लिखता है, बाकी जमीन पर निर्णय लेते हैं, फिर एक दूसरे की जांच करते हैं;

4) - श्रुतलेख के तहत, हर कोई कार्य करता है, और एक ज़ोर से बोलता है।

2. चरणों का पालन करें और दशमलव में परिणाम लिखें:

1) - बोर्ड पर;

3) - श्रुतलेख के तहत, हर कोई कार्य करता है, और एक ज़ोर से बोलता है;

5) - बाद के सत्यापन के साथ स्वतंत्र रूप से।