डायग्राम पेपर से बहुभुज कैसे बनाएं। एक नियमित इकोसाहेड्रोन कैसे बनाएं. कार्यान्वयन मार्गदर्शिका

कई डिज़ाइनर अधिक तर्कसंगत समाधान की तलाश में या केवल जिज्ञासा से बाहर आने वाली वस्तुओं और संरचनाओं को मानसिक रूप से बदलने की आदत विकसित करते हैं: इससे क्या होगा? नीचे दिया गया उदाहरण डिज़ाइनर के लिए इस प्रकार के व्यायाम-मनोरंजन को दर्शाता है।

चित्र 1 में, ठोस रेखाएँ बीस समान समबाहु त्रिभुजों से युक्त एक स्कैन दिखाती हैं।

यदि आप मोटे कागज पर एक पैटर्न बनाते हैं, तो इसे काट लें, कागज को बहुत तेज चाकू से त्रिकोणों को एक दूसरे से और पैरों से अलग करने वाली रेखाओं के साथ काटें, इन रेखाओं के साथ पैटर्न को एक दिशा में मोड़ें, सिरों को एक साथ चिपका दें। त्रिभुज 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, और त्रिभुज 1, 5, 9, 13, 17 और 3, 7, 11, 15, 19 से बनी पट्टी की गोंद दो पंचकोणीय पिरामिड, तो आपको आपके काम का पूरा इनाम मिलेगा। आपके हाथों में आपको उल्लेखनीय पूर्णता का एक शरीर मिलेगा - एक नियमित बीस-तरफा इकोसाहेड्रोन, जिसमें बीस समान चेहरे हैं - समबाहु त्रिकोण, तीस समान किनारे और पंचकोणीय पिरामिडों से युक्त बारह उभार। अचानक, दो चिपके हुए पिरामिडों के बजाय, उनमें से छह जोड़े थे और छह अक्ष इन जोड़ों से होकर गुजर रहे थे। इकोसाहेड्रोन सभी छह अक्षों के बारे में सममित है। बारह पिरामिडों में से प्रत्येक का शीर्ष और प्रत्येक मुख के तीन कोने गोलाकार सतह को छूते हैं। चेहरों के शेष बिंदु इसके करीब हैं। अन्य नियमित बहुफलक के फलकों की तुलना में, इकोसाहेड्रोन के फलक परिचालित गोले की सतह के सबसे करीब होते हैं, फलकों की संख्या अधिकतम होती है, और इसका आकार एक गेंद के आकार के सबसे करीब होता है। इससे निर्माण की संभावना बढ़ जाती है, उदाहरण के लिए, बीस समबाहु त्रिभुजों पर ग्रह का एक नक्शा, जो एक अंकित आइकोसाहेड्रोन के चेहरे पर अपनी त्रिज्या का उपयोग करके गोले के बिंदुओं को प्रक्षेपित करता है। इस पद्धति के उपयोग की संभावना को अधिक गहन विश्लेषण द्वारा स्पष्ट किया जा सकता है।

अब आइए कल्पना करें कि इकोसाहेड्रोन एक खोल नहीं है, बल्कि एक ठोस शरीर है। हम मानसिक रूप से इसके आकार को बदल देंगे, धीरे-धीरे और समान रूप से सभी पिरामिडों के शीर्ष को उनके अक्षों के लंबवत विमानों से काट देंगे। बारह नए चेहरे नियमित पंचकोण के रूप में दिखाई देंगे, और पूर्व त्रिकोणीय चेहरों के कोने काट दिए जाएंगे, वे कटे हुए कोनों के बजाय तीन नए छोटे पक्षों के साथ षट्भुज में बदल जाएंगे। पिरामिडों को और अधिक काटने से, पंचफलक बढ़ते हैं, और षट्भुज की छोटी भुजाएँ बढ़ती हैं, लंबी भुजाएँ छोटी हो जाती हैं, और अंत में एक बहुफलक का एक नया दिलचस्प आकार प्राप्त होता है, जिसमें बारह समबाहु पंचकोण और बीस समबाहु षट्भुज होते हैं। फुटबॉल की गेंदें इसी पैटर्न से बनाई जाती हैं।

यदि आप पिरामिडों को और काटते हैं, तो पंचकोणों का क्षेत्रफल बढ़ता जाता है, और षट्भुज असमान हो जाते हैं, उनकी पुरानी भुजाएँ नई की तुलना में छोटी हो जाएँगी, और यह तब तक जारी रहेगा जब तक कि पुरानी भुजाएँ गायब न हो जाएँ और नई भुजाएँ बंद न हो जाएँ त्रिभुज। हमें एक नया दिलचस्प बहुफलकीय आकार मिलता है, जिसमें बारह नियमित पंचकोण और बीस समबाहु त्रिभुज होते हैं। पेंटाहेड्रोन के तल से सामग्री को और काटने से, वे डेकाहेड्रोन में बदल जाएंगे, और त्रिकोण आकार में कम हो जाएंगे। एक क्षण आएगा जब दशफलक की असमान भुजाएँ बराबर हो जाएंगी और एक नया आकार प्राप्त होगा - बारह समबाहु दशमांश और बीस छोटे समबाहु त्रिभुज। दशमांशों के तलों से सामग्री निकालना जारी रखते हुए, अंत में हमें फिर से बारह समबाहु पंचकोण मिलेंगे, और त्रिकोण गायब हो जाएंगे। यह प्रसिद्ध पेंटागन-डोड-केड्रॉन डोडेकेहेड्रॉन आकार होगा। इन बारह प्लेटों से, लेकिन एक गोले में बाहर निकालकर, एक सोवियत पेनेंट बनाया गया और चंद्रमा पर भेजा गया। चित्र इसके विकास को दर्शाता है (चित्र 2)।

जब बीस त्रिकोणीय कोने काट दिए जाते हैं, तो हमें उनके स्थान पर बीस त्रिकोण मिलते हैं, और पंचकोणीय फलक दशकोणीय फलक में बदल जाते हैं। यदि हम इस ऑपरेशन को आगे भी जारी रखते हैं, तो हमें वही आकृतियाँ प्राप्त होंगी जो इकोसाहेड्रोन के कोनों को काटते समय मिलती हैं, लेकिन विपरीत क्रम में और अंत में हम फिर से एक इकोसाहेड्रोन प्राप्त करेंगे, लेकिन बहुत छोटे आयामों का।

यहां चर्चा किए गए रूपों की व्यावहारिक प्रयोज्यता काफी सीमित है; उनका उपयोग केवल कीमती पत्थरों को काटने में किया जा सकता है।

इकोसाहेड्रोन का अध्ययन एक ठोस शरीर के रूप में नहीं, बल्कि एक खोल के रूप में करना अधिक दिलचस्प है। इस मामले में, यह एक बंद मात्रा है, उदाहरण के लिए, तरल और गैस के लिए एक बर्तन, जो एक सपाट शीट से बना है। पसलियाँ खोल को कठोरता प्रदान करती हैं। पसलियों को छड़ों या धागों से बदला जा सकता है, और फिर अन्य विविधताएँ उत्पन्न होती हैं: एक कठोर टोकरी या बड़ी कोशिकाओं वाली एक नरम जाली।

हम स्वीप (चित्र 1) के साथ और बदलाव करेंगे, जिसके संशोधन से कभी-कभी अप्रत्याशित परिणाम मिलेंगे।

आइए विकास में चार और त्रिकोण जोड़ें, जैसा कि चित्र 1 में बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है। टेप के प्रत्येक तरफ छह समबाहु त्रिकोण अब पिरामिड में नहीं झुकेंगे, बल्कि सपाट नियमित षट्भुज में फिट होंगे और उन्हें प्रतिस्थापित किया जा सकता है विकास पर. चिपकाने के बाद, हमें एक ड्रम मिलता है जिसमें बारह-तरफा खोल और दो षट्कोणीय तल होते हैं (चित्र 3)।

यदि दो विपरीत पंचकोणीय पिरामिडों को पंचकोणीय तलों से बदल दिया जाए तो एक समान ड्रम एक इकोसाहेड्रोन से प्राप्त किया जा सकता है।

आइए अब त्रिभुज 17-20 को विकास से काट दें। शेष त्रिभुजों 1-16 से हमें दो चतुष्फलकीय पिरामिडों और एक अनुदैर्ध्य अक्ष वाला एक षट्कोण प्राप्त होता है (चित्र 4)।

यदि हम चतुष्फलकीय पिरामिडों को काट दें और उनके स्थान पर वर्गाकार फलक लगा दें, तो हमें आठ त्रिकोणीय और दो वर्गाकार फलकों से युक्त एक डेकाहेड्रोन मिलता है (चित्र 5)।

आइए अब विकास से चार और चेहरे काट दें (चित्र 1)। शेष त्रिभुज 1-12 अप्रत्याशित रूप से एक षट्भुज बनाते हैं क्योंकि त्रिभुजों का प्रत्येक जोड़ा एक हीरे के आकार का चेहरा बनाता है (चित्र 6)।

यह एक समचतुर्भुज डोडेकाहेड्रोन है, आइए इसे "रॉमबॉइड" कहें, जिसमें एक घन की तरह छह फलक, आठ त्रिफलकीय कोण और बारह किनारे होते हैं। यदि आप इसे किसी एक फलक पर रखते हैं, तो इसे तिरछे तिरछे घन के रूप में पहचानना आसान है। यदि ऐसा रॉमबॉइड पसलियों के बजाय बारह छड़ों से बना है, जो उन्हें कोनों पर टिका हुआ है, तो जब अनुदैर्ध्य अक्ष के साथ खींचा जाता है, तो छड़ें एक छड़ी का निर्माण करेंगी जिसमें सिरों पर तीन छड़ें और बीच में छह छड़ें होंगी। जब इस छड़ी को अनुदैर्ध्य रूप से संपीड़ित किया जाता है, तो छड़ें पहले एक लम्बी रॉमबॉइड में बदल जाएंगी, फिर एक घन में, फिर एक चपटे रॉमबॉइड में, और अंत में एक नियमित षट्भुज के रूप में एक विमान में फिट हो जाएंगी। यहां एक डिजाइनर के लिए एक विचार है - एक स्टूल और एक छाता जो छड़ी के आकार में मुड़ जाता है।

रॉमबॉइड वैरिएंट, जो अपनी धुरी के साथ दृढ़ता से लम्बा है (चित्र 7, स्कैन 8), विशेष रुचि का है।

बड़े पहलू अनुपात वाला ऐसा पिंड λ = 1/d (अर्थात, लंबाई 1 और मोटाई d के बड़े अनुपात के साथ), उड़ान के दौरान उन्मुख होता है ताकि धुरी उड़ान के साथ निर्देशित हो, और या के बराबर गति से आगे बढ़े ध्वनि की गति से अधिक, संभवतः समान बढ़ाव के अन्य निकायों की तुलना में सबसे कम खिंचाव होगा, क्योंकि शरीर की आगे और पीछे की पसलियाँ प्रवाह के साथ निर्देशित होती हैं, और बीच की छह पसलियाँ प्रवाह के साथ तीव्र कोण बनाती हैं। इस कथन के लिए अतिरिक्त प्रमाण या प्रयोग द्वारा सत्यापन की आवश्यकता है।

रॉमबॉइड (चित्र 6) से दोनों त्रिफलकीय पिरामिडों को काटकर (जिसके लिए सभी समचतुर्भुजों को आधा काटना होगा), हम फिर से अप्रत्याशित रूप से प्रसिद्ध नियमित ऑक्टाहेड्रोन - ऑक्टाहेड्रोन (चित्र 9) प्राप्त करते हैं। इसके विकास में त्रिकोण 1, 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12 शामिल हैं। ऑक्टाहेड्रोन और क्यूब के बीच "संबंधित" संबंध हैं, जो इकोसाहेड्रोन और पेंटागन-डोडेकाहेड्रोन के बीच संबंधों के समान हैं।

पहले के कोनों को काटकर, दूसरे को मध्यवर्ती चतुष्कोण के माध्यम से प्राप्त किया जाता है।

त्रिकोण 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12 से युक्त विकास से, एक नियमित डेकाहेड्रॉन को एक साथ चिपकाया जाता है, जिसमें आधारों पर मुड़े हुए दो पेंटाहेड्रल पिरामिड होते हैं। त्रिभुज 2, 4, 6, 8, 10, 12 से हमें एक नियमित षट्भुज का विकास प्राप्त होता है, जो एक दूसरे से जुड़े दो टेट्राहेड्रोन होते हैं, और एक टेट्राहेड्रोन का विकास - एक नियमित टेट्राहेड्रोन - जिसमें त्रिकोण 2, 4, 6 होते हैं , 8 (चित्र 10)।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि टेट्राहेड्रोन के चार चेहरे और चार उभार हैं, इसलिए, टेट्राहेड्रोन से, त्रिकोणीय कोनों को काटकर, हम त्रिकोणीय और हेक्सागोनल चेहरों के साथ मध्यवर्ती ऑक्टाहेड्रोन के माध्यम से फिर से एक टेट्राहेड्रोन प्राप्त करते हैं।

अंत में, आप दो त्रिकोणों से एक "शरीर" को भी गोंद कर सकते हैं, लेकिन यह एक सपाट त्रिकोण होगा, दो तरफा, यानी एक ऐसा शरीर जिसमें कोई आयतन नहीं है।

तो, यह पता चला है कि नियमित पॉलीहेड्रा को समबाहु त्रिभुजों की सम संख्या से एक साथ चिपकाया जा सकता है। इस मामले में, दोनों का परिणाम "बिना आयतन वाला शरीर" होता है। बारह त्रिभुजों से, एक रॉमबॉइड प्राप्त होता है, अर्थात, समचतुर्भुज किनारों वाला एक षट्भुज या दो चिपके हुए नियमित षट्भुज के रूप में आयतन रहित शरीर। चौबीस त्रिभुजों से हमें एक चौदह भुजा वाला त्रिभुज प्राप्त होता है, जिसके दो फलक होते हैं - नियमित षट्भुज। साथ ही, पाठकों के लिए एक कार्य प्रस्तावित है: क्या चौदह, अठारह और बाईस समबाहु त्रिभुजों में से एक बंद आकृति को दूसरे तरीके से चिपकाना संभव है?

आइए चित्र में दिखाए गए स्कैन को अलग करने की एक और संभावना पर विचार करें। 1. यदि हम ऊपरी और निचले दांतों को हटा दें और केवल त्रिभुजों की सम संख्या वाले टेप को छोड़ दें, और फिर ऐसे कई टेपों को उनके किनारे के किनारों से मोड़ दें, तो हम चित्र 11 में दिखाए गए विकास को प्राप्त करेंगे।

प्रत्येक टेप में बारह त्रिकोणों का विकास दिया गया है। इस विकास को खींचकर और काटकर, इसे एक दिशा में तिरछी रेखाओं के साथ और दूसरी दिशा में क्षैतिज रेखाओं के साथ मोड़ें। जब एक साथ चिपकाया जाता है, तो हमें एक गोल सिलेंडर के करीब एक आकृति मिलती है, लेकिन एक पहलूदार पार्श्व सतह के साथ। यह आकृति मरोड़, झुकने, अनुदैर्ध्य संपीड़न में कठोर है और इसमें साइड की दीवार की स्थानीय कठोरता है। व्यावहारिक अनुप्रयोग में यह भिन्नता संभवतः सबसे मूल्यवान होगी। यह एक ऐसी इमारत संरचना के लिए ब्लूप्रिंट के रूप में काम कर सकता है जो हल्की, मजबूत, कठोर और भूकंप प्रतिरोधी हो। इसका निर्माण करना बहुत मुश्किल नहीं है और इसे दीवार संस्करण और ट्रस संस्करण दोनों में लागू किया जा सकता है, अगर पसलियों को छड़ से बदल दिया जाए। दूसरे मामले में, त्रिकोणों से बना, यह सांख्यिकीय रूप से परिभाषित होगा।

(जीवविज्ञान में)

आइए सबसे आम निकायों के ज्यामितीय मॉडल के निर्माण के लिए एल्गोरिदम पर विचार करें, जिनका उपयोग अक्सर किया जाता है बुनियादी तत्वअधिक जटिल मॉडल बनाते समय।

4.4.1. नियमित पॉलीहेड्रा का निर्माण

नियमित पॉलीहेड्रा (प्लेटोनिक ठोस) उत्तल पॉलीहेड्रा होते हैं जैसे कि सभी चेहरे नियमित बहुभुज होते हैं और शीर्ष पर सभी पॉलीहेड्रल कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

वास्तव में 5 नियमित पॉलीहेड्रा हैं: नियमित टेट्राहेड्रोन, हेक्साहेड्रोन (घन), ऑक्टाहेड्रोन, डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन। उनकी मुख्य विशेषताएँ निम्नलिखित तालिका में दी गई हैं। 4.2.

नियमित पॉलीहेड्रा और उनके गुण				तालिका 4.2
नाम
बहुतल
चतुर्पाश्वीय
षट्फलक
द्वादशफ़लक
विंशतिफलक

फलक, किनारे और शीर्ष समानता से एक दूसरे से संबंधित हैं अरे-

जी + बी = पी + 2.

इसकी उत्तलता के कारण एक नियमित बहुफलक का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए, इसके सभी शीर्षों को खोजने की एक विधि को इंगित करना पर्याप्त है। एक घन (हेक्साहेड्रोन) बनाना बहुत आसान है। आइए दिखाते हैं कि बाकी बॉडी कैसे बनाई जाती हैं।

टेट्राहेड्रोन का निर्माण करने के लिए, पहले एक घन का निर्माण किया जाता है; इसके विपरीत चेहरों पर क्रॉसिंग विकर्ण खींचे जाते हैं। इस प्रकार, चतुष्फलक के शीर्ष एक घन के कोई चार शीर्ष होते हैं जो जोड़ी में इसके किसी भी किनारे से सटे नहीं होते हैं (चित्र 4.1)।

चतुर्पाश्वीय

चावल। 4.1. घन, चतुष्फलक और अष्टफलक का निर्माण

अष्टफलक का निर्माण करने के लिए सबसे पहले एक घन का निर्माण किया जाता है। अष्टफलक के शीर्ष घन के फलकों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र हैं (चित्र 4.1), जिसका अर्थ है कि अष्टफलक का प्रत्येक शीर्ष इसके फलक को बनाने वाले चार शीर्षों के समान नाम के निर्देशांक का अंकगणितीय माध्य है। घन।

4.4.2. इकोसाहेड्रोन का निर्माण

इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन का निर्माण एक घन का उपयोग करके भी किया जा सकता है। हालाँकि, डिज़ाइन करने का एक सरल तरीका है:

- इकाई त्रिज्या के दो वृत्त h=1 की दूरी पर बनाए गए हैं;

- जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, प्रत्येक वृत्त को 5 बराबर भागों में विभाजित किया गया है। 4.2.

चावल। 4.2. इकोसाहेड्रोन का निर्माण

- वृत्तों के साथ वामावर्त घूमते हुए, हम घूर्णन के बढ़ते कोण के क्रम में चयनित 10 बिंदुओं को क्रमांकित करते हैं और फिर क्रमिक रूप से, क्रमांकन के अनुसार, इन बिंदुओं को सीधे खंडों से जोड़ते हैं;

- फिर, प्रत्येक वृत्त पर चयनित बिंदुओं को जीवाओं से कसने पर, परिणामस्वरूप हमें 10 नियमित त्रिभुजों की एक बेल्ट प्राप्त होती है;

- इकोसाहेड्रोन के निर्माण को पूरा करने के लिए, हम Z अक्ष पर दो बिंदुओं का चयन करते हैं ताकि इन बिंदुओं और आधारों पर शीर्षों वाले पंचकोणीय पिरामिडों के किनारे के किनारों की लंबाई निर्मित पेंटागन के किनारों की लंबाई के बराबर हो। त्रिकोण की बेल्ट. यह देखना कठिन नहीं है कि इसकी आवश्यकता है

हमारे पास एप्लिकेट्स ± 5 2 के साथ अंक हैं।

वर्णित निर्माणों के परिणामस्वरूप, हमें 12 अंक प्राप्त होते हैं। इन बिंदुओं पर शीर्षों वाले एक उत्तल बहुफलक में 20 फलक होंगे, जिनमें से प्रत्येक एक नियमित त्रिभुज है, और इसके सभी

शीर्षों पर बहुफलकीय कोण एक दूसरे के बराबर होंगे। इस प्रकार, वर्णित निर्माण का परिणाम एक इकोसाहेड्रोन है।

4.4.3. डोडेकाहेड्रोन और गोले का निर्माण

डोडेकाहेड्रोन का निर्माण करने के लिए, हम द्वंद्व के गुण का उपयोग करेंगे: डोडेकाहेड्रोन के शीर्ष इकोसाहेड्रोन के त्रिकोणीय चेहरों के केंद्र (गुरुत्वाकर्षण के) हैं। इसका मतलब यह है कि डोडेकाहेड्रोन के प्रत्येक शीर्ष के निर्देशांक को इकोसाहेड्रोन चेहरों के शीर्षों के संबंधित निर्देशांक के अंकगणितीय औसत की गणना करके पाया जा सकता है।

एक गोले का मॉडल बनाने के लिए, हम पहले से निर्मित इकोसाहेड्रोन का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि इकोसाहेड्रोन पहले से ही एक गोले का एक मॉडल है: सभी कोने इसकी सतह पर स्थित हैं, सभी चेहरे समबाहु त्रिकोण हैं। इसका एकमात्र दोष गोले की चिकनी सतह को व्यक्त करने के लिए त्रिकोणीय चेहरों की कम संख्या है। मॉडल में विवरण के स्तर को बढ़ाने के लिए, निम्नलिखित पुनरावर्ती प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

प्रत्येक त्रिकोणीय चेहरे को चार भागों में विभाजित किया गया है, चेहरे के किनारों के मध्य में नए कोने लिए गए हैं, जैसा कि चित्र 4.3 में दिखाया गया है;

चावल। 4.3. इकोसाहेड्रोन चेहरा

नए शीर्षों को गोले की सतह पर प्रक्षेपित किया जाता है; इसके लिए, गोले के केंद्र से शीर्ष के माध्यम से एक किरण खींची जाती है और शीर्ष को गोले की सतह के साथ किरण के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थानांतरित किया जाता है;

इन चरणों को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि गोले की सतह पर आवश्यक विस्तार की डिग्री प्राप्त नहीं हो जाती।

माना गया एल्गोरिदम हमें मुख्य ज्यामितीय मॉडल के पैरामीटर प्राप्त करने की अनुमति देता है। इसी तरह, आप सिलेंडर, टोरस और अन्य निकायों के मॉडल बना सकते हैं।

4.5. प्रतिनिधित्व के बहुपद पैरामीट्रिक रूप

बहुभुज मॉडल में एक है महत्वपूर्ण कमी: जटिल आकृतियों वाले पिंडों का एक यथार्थवादी मॉडल प्राप्त करने के लिए, हजारों बहुभुजों की आवश्यकता होती है। यथार्थवादी दृश्यों में पहले से ही सैकड़ों-हजारों बहुभुज होते हैं। गणना में उल्लेखनीय कमी के साथ उच्च-गुणवत्ता वाले मॉडल प्राप्त करने का एक तरीका बहुपद पैरामीट्रिक रूपों का उपयोग करना है, जो केवल नियंत्रण बिंदु प्राप्त करने के लिए बहुभुज जाल का उपयोग करते हैं।

4.5.1. वक्रों और सतहों के प्रतिनिधित्व के रूप

वक्रों और सतहों के गणितीय प्रतिनिधित्व के तीन मुख्य रूप हैं: स्पष्ट, अंतर्निहित, पैरामीट्रिक।

द्वि-आयामी अंतरिक्ष में वक्र को निर्दिष्ट करने का स्पष्ट रूप एक समीकरण है, जिसके बाईं ओर आश्रित चर है, और दाईं ओर एक फ़ंक्शन है, जिसका तर्क स्वतंत्र चर है।

द्वि-आयामी अंतरिक्ष में निहित रूप f(x , y) =0. त्रि-आयामी अंतरिक्ष में पैरामीट्रिक रूप में:

वक्र समीकरण -एक्स = एक्स(यू), वाई = वाई(यू), जेड = जेड(यू);

सतही समीकरण -एक्स = एक्स(यू, वी), वाई = वाई(यू, वी), जेड = जेड(यू, वी).

पैरामीट्रिक फॉर्म (पीएफ) प्रतिनिधित्व का एक मुख्य लाभ दो- और तीन-आयामी स्थानों में इसकी एकरूपता है। पीएफ, सबसे पहले, सबसे लचीला है, और दूसरा, वस्तुओं के आकार और अभिविन्यास में किसी भी बदलाव के लिए प्रतिरोधी है, जो इसे कंप्यूटर ग्राफिक्स सिस्टम के गणितीय समर्थन में विशेष रूप से सुविधाजनक बनाता है।

पैरामीट्रिक बहुपद वक्र और सतहें

वस्तुओं को निरूपित करने के कई तरीके हैं, लेकिन हम बहुपद पर ध्यान केंद्रित करेंगे, यानी। वक्रों का वर्णन करते समय पैरामीटर यू के सभी कार्य या सतहों का वर्णन करते समय पैरामीटर यू और वी बहुपद हैं।

वक्र के समीकरण पर विचार करें:

पी (यू) = [एक्स (यू) वाई (यू) जेड (यू)] टी।

मैं = 0 जे = 0

घात n का एक बहुपद पैरामीट्रिक वक्र है (OpenGL अक्सर बहुपद के "क्रम" शब्द का उपयोग करता है, जिसका मान बहुपद की घात से 1 अधिक होता है)

पी(यू) = ∑ यूके सीके,
क= 0
जहाँ c k के स्वतंत्र घटक x, y, z, अर्थात् हैं। सी के = सी एक्सके		सी zk

मैट्रिक्स (सी के), जिसमें एन +1 कॉलम शामिल हैं, घटकों पी के लिए बहुपद के गुणांक को जोड़ता है; इसका मतलब यह है कि किसी विशेष वक्र पी के लिए गुणांक चुनने में हमारे पास 3(एन +1) डिग्री की स्वतंत्रता है।

वक्र को पैरामीटर यू में परिवर्तन के किसी भी अंतराल पर निर्धारित किया जा सकता है, लेकिन निर्णय की व्यापकता खोए बिना, हम मान सकते हैं कि 0 ≤ यू ≤ 1, यानी। वक्र खंड निर्धारित है.

एक पैरामीट्रिक बहुपद सतह का वर्णन निम्नलिखित समीकरण द्वारा किया गया है:

एक्स(यू, वी)

p(u, v) = y(u, v) = ∑∑ n m cij ui v j।

जेड(यू, वी)

इस प्रकार, एक विशिष्ट सतह p (u,v) निर्धारित करने के लिए, 3(n +1)(m +1) गुणांक निर्दिष्ट करना आवश्यक है। विश्लेषण में, आप n=m ले सकते हैं, और अंतराल 0 ≤ u, v ≤ 1 पर पैरामीटर u और v बदल सकते हैं और चित्र में दिखाए गए सतह के हिस्से (सतह पैच) को निर्धारित कर सकते हैं। 4.4.

चावल। 4.4. किसी सतह के एक हिस्से की परिभाषा

इस तरह से परिभाषित एक सतह क्षेत्र को एक सीमा के रूप में माना जा सकता है जिसके लिए वक्रों का एक सेट होता है, जो तब बनता है जब पैरामीटर यू या वी में से एक अपने अंतराल में मूल्यों के माध्यम से चलता है, जबकि दूसरा स्थिर रहता है।

स्पष्ट अर्थ. भविष्य में, हम पहले बहुपद वक्रों को परिभाषित करेंगे और फिर समान विशेषताओं वाली सतह बनाने के लिए उनका उपयोग करेंगे।

आइए हम प्रतिनिधित्व के बहुपद पैरामीट्रिक रूप का उपयोग करने के लाभों पर ध्यान दें:

किसी वस्तु के आकार को स्थानीय रूप से नियंत्रित करने की क्षमता;

गणितीय अर्थ में सहजता और निरंतरता;

डेरिवेटिव की विश्लेषणात्मक गणना की संभावना;

छोटी-मोटी गड़बड़ी का प्रतिरोध;

अपेक्षाकृत सरल, और इसलिए उच्च गति, टोनिंग विधियों का उपयोग करने की क्षमता।

4.5.2. पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित घन वक्र

यदि हम एक बहुपद का उपयोग करते हैं उच्च डिग्री, अधिक "स्वतंत्रता" होगी, लेकिन बिंदुओं के निर्देशांक की गणना करते समय अधिक गणना की आवश्यकता होगी। साथ ही, जैसे-जैसे स्वतंत्रता की डिग्री बढ़ती है, लहरदार वक्र प्राप्त होने का खतरा बढ़ता है। दूसरी ओर, बहुत कम डिग्री का बहुपद चुनने से हमें बहुत कम पैरामीटर मिलेंगे और हम वक्र के आकार को पुन: उत्पन्न करने में सक्षम नहीं होंगे। समाधान - वक्र को खंडों में विभाजित किया गया है जो निम्न डिग्री बहुपद द्वारा वर्णित हैं।

एक घन बहुपद वक्र का वर्णन इस प्रकार किया जा सकता है:

पी(यू) = सी0 + सी1 यू + सी2 यू2 + सी3 यू3 = ∑ यूके सीके = यूटी सी,

						क= 0
जहाँ c = [c 0 c 1 c 2c 3 ],	यू = 1 यू					सी के = सी एक्सके	सी वाईके सी ज़ेडके

इन अभिव्यक्तियों में, c बहुपद के गुणांक मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करता है। यह वही है जिसकी गणना संदर्भ बिंदुओं के दिए गए समूह से की जानी चाहिए। आगे, हम घन वक्रों के विभिन्न वर्गों पर विचार करेंगे, जो संदर्भ बिंदुओं के साथ उनकी तुलना की प्रकृति में भिन्न हैं। प्रत्येक प्रकार के लिए, 12 अज्ञात के साथ 12 समीकरणों की एक प्रणाली बनाई जाएगी, लेकिन चूंकि पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के लिए घटक x,y,zस्वतंत्र, इन 12 समीकरणों को 4 अज्ञातों के साथ 4 समीकरणों के तीन समूहों में विभाजित किया जाएगा।

एक निश्चित प्रकार के घन वक्र के गुणांक मानों की गणना स्वतंत्र पैरामीटर के कुछ मानों के अनुरूप संदर्भ बिंदुओं के दिए गए समूह का उपयोग करके की जाती है

यू यह डेटा बाधाओं का रूप ले सकता है जिसके लिए वक्र को दिए गए कुछ बिंदुओं से और अन्य बिंदुओं के आसपास से गुजरने की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, ये डेटा वक्र की चिकनाई पर कुछ शर्तें लगाते हैं, उदाहरण के लिए, व्यक्तिगत खंडों के संयुग्मन के दिए गए बिंदुओं पर डेरिवेटिव की निरंतरता। घटता विभिन्न वर्ग, समान संदर्भ बिंदुओं पर गठित, काफी भिन्न हो सकते हैं।

4.5.3. प्रक्षेप

मान लीजिए कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में चार संदर्भ बिंदु हैं: पी 0, पी 1, पी 2 और पी 3। प्रत्येक बिंदु को उसके तीन निर्देशांकों द्वारा दर्शाया जाता है:

पी के = [एक्स के वाई के जेड के ] टी।

आइए हम गुणांक मैट्रिक्स c के तत्वों को इस प्रकार खोजें कि बहुपद p(u)=u T c दिए गए चार संदर्भ बिंदुओं से होकर गुजरे।

समाधान। चार बिंदु हैं, हम 12 अज्ञात के साथ 12 समीकरण बनाते हैं - मैट्रिक्स सी के तत्व। हम मानते हैं कि u k (k= 0,1,2,3) के मान अंतराल पर समान रूप से वितरित किए जाते हैं, अर्थात। यू= 0.1/3.2/3.1. हमें समीकरण मिलते हैं:

पी (0) = सी 0 ,

सी 3,

सी 3,

पी 3 = पी (1) = सी 0 + सी 1 + सी 2 + सी 3।

आइए इन समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें: p=AC,

पी = [ पी 0 पी 1 पी 2 पी 3 ] टी

			(2 3 )				(2 3 )

आइए मैट्रिक्स ए का विश्लेषण करें। यदि हम p और c की व्याख्या 12-तत्व स्तंभ आव्यूह के रूप में करते हैं, तो मैट्रिक्स गुणन नियम का पालन नहीं किया जाएगा। लेकिन हम p और c को 4 तत्वों के स्तंभ मैट्रिक्स के रूप में सोच सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक पंक्ति मैट्रिक्स है। फिर, उत्पाद के परिणामस्वरूप, हमें कॉलम पी के मैट्रिक्स के तत्वों के समान प्रकार का एक तत्व प्राप्त होता है। मैट्रिक्स एकवचन नहीं है, इसे उलटा किया जा सकता है और आधार प्राप्त किया जा सकता है-

टेरपोलेशन मैट्रिक्स:

एम आई = ए − 1 = − 5.5			− 4.5
		− 22.5		− 4.5
			− 13.5
− 4.5

एम I के मान होने पर, आप गुणांक के आवश्यक मानों की गणना कर सकते हैं सी= एम आई /पी.

यदि वक्र को 4 द्वारा नहीं, बल्कि m संदर्भ बिंदुओं द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, तो इसे (m -1) क्रम के एक प्रक्षेप बहुपद द्वारा दर्शाया जा सकता है (एक समान तकनीक का उपयोग करके 3 × m गुणांक की गणना करें)। आप इसे अलग तरीके से कर सकते हैं - इस वक्र पर विचार करें जिसमें कई खंड शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक को 4 बिंदुओं के दूसरे समूह द्वारा परिभाषित किया गया है। पिछले समूह के अंतिम समर्थन बिंदु को अगले समूह का पहला समर्थन बिंदु मानकर निरंतरता सुनिश्चित की जा सकती है। प्रत्येक खंड पर मैट्रिक्स एम I समान होंगे, क्योंकि यू लेकिन इस मामले में, पा के संबंध में डेरिवेटिव के कार्य-

जंक्शन बिंदुओं पर मीटर में खराबी आ जाएगी।

4.5.4. सम्मिश्रण कार्य (नियंत्रण बिंदुओं के बहुपद भार कार्य)

आइए हम प्रक्षेप बहुपद वक्रों की सहजता का विश्लेषण करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले से प्राप्त संबंधों को थोड़े संशोधित रूप में फिर से लिखते हैं:

पी(यू) = यूटी सी = यूटी एम आई पी।

इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है: p (u) = b (u) T p,

बी(यू) = एम आई टी यू ,

चार का एक कॉलम मैट्रिक्स है बहुपद मिश्रण कार्य

सम्मिश्रण बहुपद:

बी (यू) = [बी 0 (यू) बी 1 (यू) बी 2 (यू) बी 3 (यू)] टी।

प्रत्येक मिश्रण फलन में, बहुपद घन है। p(u) को बहुपदों के मिश्रण के योग के रूप में व्यक्त करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पी (यू) = बी 0 (यू) पी 0 + बी 1 (यू) पी 1 + बी 2 (यू) पी 2 + बी 3 (यू) पी 3 = ∑ बी आई (यू) पी आई।

मैं= 0

इस संबंध से यह पता चलता है कि बहुपद मिश्रण फ़ंक्शन प्रत्येक संदर्भ बिंदु द्वारा किए गए योगदान को दर्शाते हैं, और इस प्रकार यह अनुमान लगाना संभव बनाते हैं कि किसी विशेष संदर्भ बिंदु की स्थिति में परिवर्तन अंतिम वक्र के आकार को कितना प्रभावित करेगा। उनके लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ:

बी 0 (यू) = - 9 2 (यू - 1 3 )(यू - 2 3 )(यू - 1), बी 1 (यू) = 27 2 यू (यू - 2 3 )(यू - 1),

बी 2 (यू) = − 27 2 यू (यू − 1 3 )(यू − 1), बी 3 (यू ) = 9 2 (यू − 1 3 )(यू − 2 3 ) .

क्योंकि फ़ंक्शन के सभी शून्य अंतराल पर स्थित होते हैं, फिर इस अंतराल पर उनके मान महत्वपूर्ण रूप से बदल सकते हैं, और फ़ंक्शन स्वयं मोनोटोनिक नहीं होते हैं (चित्र 4.5.)। ये विशेषताएँ इस तथ्य से उत्पन्न होती हैं कि प्रक्षेप वक्र को संदर्भ बिंदुओं से होकर गुजरना चाहिए, न कि उनके तत्काल आसपास से। वक्र की खराब चिकनाई और खंडों के जंक्शन बिंदुओं पर डेरिवेटिव की निरंतरता की कमी बताती है कि सीजी में इंटरपोलिंग बहुपद वक्रों का उपयोग शायद ही कभी क्यों किया जाता है। लेकिन उसी विश्लेषण तकनीक का उपयोग करके, आप और अधिक पा सकते हैं उपयुक्त प्रकारटेढ़ा.

		बी1(यू)	बी2(यू)
				बी3(यू)
चावल। 4.5. बहुपद मिश्रण फलन
	घन प्रक्षेप के मामले के लिए

घन प्रक्षेप सतह का भाग

बाइकुबिक सतह समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

p(u, v) = ∑∑ ui v j cij।

मैं = 0 जे = 0

यहां c ij एक तीन-घटक स्तंभ मैट्रिक्स है, जिसके तत्व x, y, z घटकों के समीकरणों में स्वतंत्र चर की समान शक्तियों पर गुणांक हैं। आइए हम 4x4 मैट्रिक्स C को इस प्रकार परिभाषित करें कि इसके तत्व तीन-घटक कॉलम मैट्रिक्स हों:

सी = [सीआईजे]।

फिर सतह के एक हिस्से को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है: पी (यू, वी) = यू टी सीवी,

वी = 1 वी वी

बाइक्यूबिक सतह का एक विशिष्ट भाग मैट्रिक्स सी के तत्वों के 48 मानों - 16 त्रि-आयामी वैक्टर द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आइए मान लें कि 16 त्रि-आयामी संदर्भ बिंदु हैं p ij , i= 0,..,3, j= 0,..,3 (चित्र 4.6.)। हम मान लेंगे कि इन डेटा का उपयोग स्वतंत्र पैरामीटर यू और वी दोनों के लिए समान चरणों के साथ इंटरपोलेशन के लिए किया जाता है, जो मान 0, 1/3, 2/3, 1 लेते हैं। इसलिए

हमें 16 समीकरणों के तीन सेट मिलते हैं जिनमें से प्रत्येक में 16 अज्ञात हैं। तो, u=v= 0 के लिए हमें प्राप्त होता है

पी 00 = [1 0 0 0] सी 0 0 = सी 00 .0

चावल। 4.6. अंतर्वेशन सतह भाग

आपको इन सभी समीकरणों को हल करने की आवश्यकता नहीं है। यदि हम v = 0 निर्धारित करते हैं, तो u को बदलने पर, हमें p 00, p 10, p 20, p 30 से होकर गुजरने वाला एक वक्र मिलता है। पिछले अनुभाग में प्राप्त परिणामों का उपयोग करके, हम इस वक्र के लिए निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं:

पी (यू ,0) = यू टी एम
				UTC।

v= 1/3, 2/3, 1 के मानों के लिए तीन अन्य प्रक्षेप वक्र परिभाषित किए जा सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक को उसी तरह वर्णित किया जा सकता है। सभी वक्रों के समीकरणों को मिलाकर, हमें 16 समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है जो हमें रुचिकर बनाती है:

यूटी एम आई पी = यूटी कैट,

जहां A, M I का व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। इस समीकरण का समाधान गुणांकों का वांछित मैट्रिक्स होगा:

सी = एम आई पीएम आई टी।

इसे सतही समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम अंततः p (u ,v ) = u T M I PM I T v प्राप्त करते हैं।

इस परिणाम की अलग-अलग तरह से व्याख्या की जा सकती है. इससे यह निष्कर्ष निकलता है, सबसे पहले, कि वक्रों के विश्लेषण से प्राप्त परिणामों को संबंधित सतहों तक बढ़ाया जा सकता है। दूसरे, बहुपद मिश्रण कार्यों का उपयोग करने की तकनीक को सतहों तक बढ़ाया जा सकता है:

p(u, v) = ∑∑ bi (u) bj (v ) pij ।

मैं = 0 जे = 0

4.5.5. हर्मिट वक्रों और सतहों के प्रतिनिधित्व का रूप

मान लीजिए कि बिंदु p 0, p 3 हैं और खंड अंतराल u से मेल खाता है, अर्थात। उपलब्ध बिंदु u =0 और u =1 के अनुरूप हैं। चलो इसे लिख लें

दो शर्तें:

पी (0) = पी 0 = सी 0,

पी (1) = पी 3 = सी 0 + सी 1 + सी 2 + सी 3।

हम खंड u =0 और u =1 के चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के मान निर्दिष्ट करके दो अन्य शर्तें प्राप्त करते हैं:

पी "(यू) = सी 1 + 2यूसी 2 + 3यू 2 सी 3, फिर

पी " 0 = पी " (0) = सी 1 ,

पी "3 = पी" (1) = सी 1 + 2 सी 2 + 3 सी 3।

आइए इन समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें:

पी"3
डेटा वेक्टर को q द्वारा निरूपित करना
क्यू = [पी0						पी" 0	पी "3 ] टी ,

समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

सी = एम एच क्यू ,

जहां एमएच को सामान्यीकृत हर्मिट ज्यामिति मैट्रिक्स कहा जाता है।

		−3			−2	−1
				−2

परिणामस्वरूप, हमें हर्माइट रूप में बहुपद वक्र का निरूपण प्राप्त होता है:

पी(यू) = यूटी एम एच क्यू.

हम यौगिक वक्र के खंडों को दर्शाने के लिए हर्माइट फॉर्म का उपयोग करेंगे, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 4.7. संयुग्मन बिंदु दोनों खंडों के लिए सामान्य है, और, इसके अलावा, दोनों खंडों के लिए संयुग्मन बिंदु पर वक्र के व्युत्पन्न भी समान हैं। परिणामस्वरूप, हमें एक समग्र वक्र प्राप्त होता है जो पहले व्युत्पन्न के साथ इसकी पूरी लंबाई में निरंतर होता है।

p(0) p(1)=q(0)

चावल। 4.7. खंडों को जोड़ने के लिए हर्मिट फॉर्म लागू करना

हर्मिट प्रतिनिधित्व फॉर्म का उपयोग करते समय चिकनी वक्र प्राप्त करने की संभावना को गणितीय रूप से निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। आइये बहुपद को इस रूप में लिखें

पी(यू) = बी(यू) टी क्यू,

जहां नया मिश्रण फ़ंक्शन है

बी(यू) = एम टी यू =		- 2 यू 3 + 3 यू 2।
			−2 यू 2 +यू
			तुम 3 − तुम 2

इन चार बहुपदों के शून्य अंतराल के बाहर स्थित हैं, और इसलिए मिश्रण कार्य प्रक्षेप बहुपदों की तुलना में बहुत आसान हैं।

किसी सतह के एक हिस्से को हर्माइट रूप में इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

पी (यू , वी ) = ∑∑ बी आई (यू ) बी जे (वी) क्यू आईजे ,

मैं = 0 जे = 0

जहां Q =[ q ij ] डेटा का एक सेट है जो सतह के एक हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है उसी तरह जैसे q एक वक्र के एक खंड का प्रतिनिधित्व करता है। क्यू के चार तत्व सतह के कोने बिंदुओं पर फ़ंक्शन पी (यू, वी) के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और अन्य चार को उन कोने बिंदुओं पर सतह के डेरिवेटिव का प्रतिनिधित्व करना चाहिए। इंटरैक्टिव अनुप्रयोगों में, उपयोगकर्ता के लिए डेरिवेटिव पर डेटा नहीं, बल्कि बिंदुओं के निर्देशांक निर्दिष्ट करना वांछनीय है, और इसलिए, इन डेटा के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति तैयार किए बिना, हम डेरिवेटिव प्राप्त करने में सक्षम नहीं होंगे।

यदि संयुग्मन बिंदु पर वैक्टर पी और क्यू के सभी तीन पैरामीट्रिक घटकों के मान बराबर हैं, तो पैरामीट्रिक निरंतरताकक्षा सी 0.

वे वक्र जिनमें मूल्य और प्रथम व्युत्पन्न दोनों के लिए निरंतरता की शर्तें संतुष्ट होती हैं, उनमें वर्ग सी 1 की पैरामीट्रिक निरंतरता होती है।

यदि व्युत्पन्नों के घटकों के मान आनुपातिक हैं, तो वर्ग जी 1 की ज्यामितीय निरंतरता है।

इन विचारों को उच्च क्रम के डेरिवेटिव के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

वर्ग जी 1 की ज्यामितीय निरंतरता वाले वक्र का आकार संयुग्मन बिंदु पर खंडों की स्पर्शरेखा की लंबाई की आनुपातिकता के गुणांक पर निर्भर करता है। चित्र 4.8 में। यह दिखाया गया है कि वक्र खंडों का आकार जो अंत बिंदुओं पर मेल खाता है और इन बिंदुओं पर आनुपातिक स्पर्शरेखा वैक्टर हैं, काफी भिन्न हैं। इस संपत्ति का उपयोग अक्सर ग्राफिकल प्लॉटिंग कार्यक्रमों में किया जाता है।

पी"(0) क्यू(यू) पी"(1)

चावल। 4.8. खंडों के आकार पर स्पर्शरेखा सदिश की लंबाई का प्रभाव

4.5.6. बेज़ियर वक्र और सतहें

हर्माइट रूप में और प्रक्षेप बहुपद के रूप में वक्रों की तुलना असंभव है, क्योंकि उनके गठन के लिए उपयोग किया जाता है

विभिन्न प्रकृति के डेटा सेट। आइए इंटरपोलेशन बहुपद को निर्धारित करने और अप्रत्यक्ष रूप से हर्माइट रूप में वक्रों को परिभाषित करने के लिए संदर्भ बिंदुओं के समान संयोजन का उपयोग करने का प्रयास करें। परिणाम एक बेज़ियर-आकार का वक्र है जो हर्माइट-आकार के वक्र का एक अच्छा सन्निकटन है और जिसकी तुलना बिंदुओं के समान समूह पर बने एक प्रक्षेप बहुपद से की जा सकती है। इसके अलावा, यह प्रक्रिया सीजी और सीएडी सिस्टम में घुमावदार वस्तुओं के इंटरैक्टिव निर्माण के लिए आदर्श है, क्योंकि बेज़ियर रूप में वक्र को परिभाषित करने के लिए डेरिवेटिव निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं होती है।

बेज़ियर वक्र

मान लीजिए कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में चार संदर्भ बिंदु हैं: पी 0, पी 1, पी 2 और पी 3। उत्पन्न वक्र पी (यू) के अंतिम बिंदु संदर्भ बिंदु पी 0, पी 1 के साथ मेल खाना चाहिए:

पी 0 = पी (0), पी 3 = पी (1)।

बेज़ियर ने खंड यू = 0 और यू = 1 के चरम बिंदुओं पर डेरिवेटिव निर्दिष्ट करने के लिए दो अन्य संदर्भ बिंदुओं पी 1 और पी 2 का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा। पुनः-

इसके लिए हम एक रैखिक सन्निकटन का उपयोग करते हैं (चित्र 4.9)।
पी"(0)=	पी 1 − पी 0	3(पी − पी ),		पी"(1)=	पी 3 − पी 2	3(पी − पी

चावल। 4.9. स्पर्शरेखा सदिशों का सन्निकटन

पैरामीट्रिक बहुपद वक्र p (u) = u T c के दो चरम बिंदुओं पर स्पर्शरेखाओं पर इस सन्निकटन को लागू करने पर, हमें दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:

3 पी 1 − 3 पी 0 = सी 1,

3 पी 3 - 3 पी 2 = सी 1 + 2 सी 2 + 3 सी 3।

आइए उन्हें वक्र के अंतिम बिंदुओं पर संपाती होने के लिए मौजूदा स्थितियों में जोड़ें:

पी (0) = पी 0 = सी 0 ,

पी (1) = पी 3 = सी 0 + सी 1 + सी 2 + सी 3।

तो, हमारे पास फिर से चार समीकरणों के तीन सेट हैं जिनमें से प्रत्येक में चार अज्ञात हैं। पिछले भाग की तरह ही विधि का उपयोग करके उन्हें हल करने पर, हमें यह मिलता है:

सी = एम बी पी ,

जहां एम बी को बेज़ियर ज्यामिति मैट्रिक्स कहा जाता है:

		= − 3
				−6
			−1		−3

परिणामस्वरूप, हमें बेज़ियर रूप में बहुपद वक्र का निरूपण प्राप्त होता है:

पी(यू) = यूटी एम बी पी।

इस सूत्र का उपयोग एक समग्र वक्र बनाने के लिए किया जा सकता है जिसके खंड प्रक्षेप बहुपद हैं। जाहिर है, नियंत्रण बिंदुओं के मनमाने समूह पर बेज़ियर विधि का उपयोग करके बनाया गया एक समग्र वक्र वर्ग सी 0 से संबंधित है, लेकिन यह वर्ग सी 1 की आवश्यकताओं को पूरा नहीं करता है, क्योंकि संयुग्मन बिंदु के दाएं और बाएं स्पर्शरेखाओं का अनुमान विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके लगाया जाता है।

आइए सम्मिश्रण कार्यों का उपयोग करके वक्र के गुणों का विश्लेषण करें। आइए बहुपद को इस रूप में लिखें:

पी(यू) = बी(यू) टी पी,

जहां नए मिश्रण फ़ंक्शन का रूप है (चित्र 4.10):

			−यू)
बी(यू) = एम टी यू = 3 यू (1 − यू ) 2
	3उ 2		(1− यू)

ये चार बहुपद विशेष मामले हैं बर्नस्टीन बहुपद:

बी केडी (यू ) = के !(डी डी − ! के )! यू के (1− यू )डी − के .

बर्नस्टीन बहुपद के गुण:

1) सभी शून्य बिंदुओं मेंयू= 0 या यू= 1;

2) पी(यू) को चार दिए गए बिंदुओं से बने उत्तल बहुभुज खोल के अंदर स्थित होना चाहिए, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 4.11. इस प्रकार, हालांकि बेज़ियर वक्र सभी निर्दिष्ट नियंत्रण बिंदुओं से नहीं गुजरता है, यह कभी भी उन बिंदुओं से घिरे क्षेत्र से आगे नहीं बढ़ता है। यह इंटरैक्टिव विज़ुअल डिज़ाइन के लिए बहुत सुविधाजनक है।

		चावल। 4.11. उत्तल पतवार और
चावल। 4.10. बहुपद फलन

बेज़ियर आकार में सतह के भाग

सम्मिश्रण कार्यों का उपयोग करके बेज़ियर सतहों के हिस्से बनाए जा सकते हैं। यदि P = [p ij ] di- के साथ नियंत्रण बिंदुओं की एक सरणी है

माप 4x4 है, तो बेज़ियर रूप में सतह के संबंधित भाग को संबंध द्वारा वर्णित किया गया है:

पी(यू, वी ) = ∑∑ बी मैं(यू ) बी जे(वी) पी आईजे= यू टीएम बीपी.एम. बीटीवी .
मैं = 0	जे = 0

सतह का एक भाग कोने के बिंदुओं से होकर गुजरता है पी00 , पी03 , पी30 और पी33 और उत्तल बहुभुज से आगे नहीं बढ़ता है जिसके शीर्ष संदर्भ बिंदु हैं। 16 में से बारह नियंत्रण बिंदु

डेटा के रूप में व्याख्या की जा सकती है जो सतह के गठित हिस्से के कोने बिंदुओं पर विभिन्न मापदंडों के संबंध में डेरिवेटिव की दिशा निर्धारित करता है।

4.6. बहुभुज मॉडल के निर्माण का एक उदाहरण

विचाराधीन समस्या - बहुभुज जालों द्वारा परिभाषित ज्यामितीय मॉडलों का प्रतिनिधित्व - को निम्नलिखित चरणों में विभाजित किया जा सकता है:

1) दृश्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक मॉडल (डेटा संरचना) का विकास;

2) मॉडल को संग्रहीत करने के लिए फ़ाइल प्रारूप का विकास;

3) निर्मित दृश्यों को देखने के लिए एक प्रोग्राम लिखना;

4) कार्य विकल्प के अनुसार वस्तुओं के बहुभुज मॉडल तैयार करने के लिए एक प्रोग्राम लिखना।

4.6.1. बहुभुज मॉडल डेटा संरचनाओं का विकास

निम्नलिखित मॉडल तत्वों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: बिंदु, बहुभुज, एक व्यक्तिगत वस्तु का मॉडल, दृश्य (एक दूसरे के सापेक्ष दिए गए स्थान के साथ वस्तुओं का एक सेट)।

1) एक बिंदु का वर्णन तीन निर्देशांकों द्वारा किया जाता है:

2) बहुभुज, सामान्यतः, एक मनमाना उत्तल बहुभुज होता है। हम इसके विशेष मामले - एक त्रिकोण का उपयोग करेंगे। हमारी पसंद इस तथ्य से उचित है कि बाद के छायांकन एल्गोरिदम के साथउनके काम के लिए जेड-बफर, त्रिकोणीय की आवश्यकता होगी

किनारों और तेजी से जटिल बहुभुजों को विभाजित करने की आवश्यकता होगी।

टाइपडिफ़ संरचना बहुभुज (

पूर्णांक अंक; //बहुभुज बनाने वाले तीन शीर्षों के सूचकांक, शीर्षों को मॉडल शीर्षों की सूची में संग्रहीत किया जाता है

3) किसी व्यक्तिगत वस्तु का मॉडल बिंदुओं की एक सूची और शीर्षों की एक सूची है:

टाइपडिफ स्ट्रक्चर मॉडल3डी (

बहुभुज बहुभुज; //बहुभुजों की सारणी

4) एक दृश्य एक दूसरे के सापेक्ष दिए गए स्थान वाली वस्तुओं का एक समूह है। सबसे सरल मामले में आप उपयोग कर सकते हैं

वस्तुओं की सूची (सरणी), उदाहरण के लिए,

4.6.2. मॉडल को संग्रहीत करने के लिए फ़ाइल स्वरूप का विकास

दृश्यों और मॉडलों को संग्रहीत और संसाधित करने के लिए, विभिन्न अनुभागों से युक्त टेक्स्ट फ़ाइलों का उपयोग करना सुविधाजनक है। अनुभागों को कीवर्ड द्वारा अलग किया जा सकता है, जो फ़ाइलों को पढ़ना और संपादित करना आसान बनाता है, और आपको मॉडल के लिए जानकारी का केवल एक हिस्सा निर्दिष्ट करने की अनुमति भी देता है। एक अच्छा उदाहरण डीएक्सएफ प्रारूप है, जिसका उपयोग सीएडी सिस्टम के बीच चित्रों का आदान-प्रदान करने के लिए किया जाता है। आइए एक सरल उदाहरण देखें:

जहां पहला नंबर दृश्य फ़ाइल एन में मॉडलों की संख्या है। इसके बाद एन मॉडल आता है। मॉडलों के विवरण में पहली संख्या शीर्ष K की संख्या है। फिर निर्देशांक क्रमिक रूप से सूचीबद्ध किए जाते हैं

सभी K शीर्षों का x,y,z. इसके बाद नंबर आता है G, जो मॉडल में चेहरों की संख्या निर्दिष्ट करता है। इसके बाद जी रेखाएँ आती हैं, जिनमें से प्रत्येक में त्रिकोणीय फलक बनाने वाले तीन शीर्षों के सूचकांक शामिल होते हैं।

4.6.3. निर्मित दृश्य देखें

निर्मित दृश्यों को ऑर्थोग्राफ़िक प्रोजेक्शन में देखने के लिए निम्नलिखित प्रोग्राम विकसित किया गया है:

#शामिल करना #शामिल करना #शामिल करना #शामिल करना

स्थिरांक int MAX_MODEL_COUNT = 3; //मैक्स. दृश्य में मॉडलों की संख्या स्थिरांक MAX_POINT_COUNT =100; //मैक्स. मॉडल में अंकों की संख्या स्थिरांक MAX_POLY_COUNT =100; //मैक्स. मॉडल में चेहरों की संख्या

टाइपडिफ स्ट्रक्चर प्वाइंट (डबल एक्स, वाई, जेड;

टाइपडिफ़ संरचना बहुभुज (

पूर्णांक अंक; //बहुभुज बनाने वाले तीन शीर्षों के सूचकांक

टाइपडिफ स्ट्रक्चर मॉडल3डी (

int PolygonCount;//मॉडल में बहुभुजों की संख्या

बहुभुज बहुभुज; //बहुभुजों की सारणी

मॉडल3डी मॉडल; //मॉडलों की श्रृंखला

//फ़ंक्शन फ़ाइल से दृश्य पढ़ता है

शून्य लोड दृश्य (दृश्य3डी और दृश्य, स्थिरांक चार * फ़ाइल नाम)

यदि ((f = fopen(फ़ाइल नाम, "rt")) == NULL)

fprintf(stderr, "इनपुट फ़ाइल नहीं खोल सकता.\n"); बाहर निकलें(1);

//फ़ाइल fscanf(f, "%d", &scene.ModelsCount); में मॉडलों की संख्या पढ़ें;

for(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

मॉडल3डी *मॉडल = &दृश्य.मॉडल[एम]; // मॉडल बिंदुओं की एक सूची लोड हो रही है fscanf(f, "%d", &model->PointCount);

for(int i = 0; i< model->बिंदुगणना; ++i)

fscanf(f, "%lf%lf%lf", &p.x, &p.y, &p.z); मॉडल->अंक[i] = p;

बहुभुज *p = &(मॉडल->बहुभुज[i]); fscanf(f, "%d%d%d", &(p->अंक),

&(p->अंक), &p->अंक);

// ऑर्थोग्राफ़िक प्रोजेक्शन में एक वायरफ्रेम // मॉडल प्रदर्शित करें

//नुकसान - सभी किनारों को दो बार शून्य ड्रावायरफ्रेमसीन (स्थिरांक दृश्य3डी और दृश्य) से खींचा जाता है

for(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

स्थिरांक मॉडल3डी *मॉडल = &दृश्य.मॉडल[एम]; for(int i = 0; i< model->बहुभुजगणना; ++i)

स्थिरांक बहुभुज *पाली = &मॉडल->बहुभुज[i];

			&मॉडल->अंक;
			&मॉडल->अंक;
			&मॉडल->अंक;
पंक्ति(320 + p1->x,
लाइन(320 + पी2->एक्स,
पंक्ति(320 + p3->x,

// ग्राफ़िक्स मोड शून्य InitGraphMode(void) प्रारंभ करें

int gdriver = पता लगाएं, gmode, errorcode; initgraph(&gdriver, &gmode, "");

त्रुटि कोड = ग्राफ़ परिणाम();

यदि (errorcode != grOk) //एक त्रुटि उत्पन्न हुई

प्रिंटफ़ ("ग्राफ़िक्स त्रुटि: %s\n", ग्राफ़रोर्म्सजी(एररकोड));

प्रिंटफ ("रोकने के लिए कोई भी कुंजी दबाएँ:");

	//त्रुटि कोड लौटाएं

सीन3डी दृश्य; लोडसीन(दृश्य, "मॉडल.डेट"); InitGraphMode(); ड्रॉवायरफ़्रेमसीन(दृश्य); getch();

दिया गया उदाहरण आपको वर्णित प्रारूप में निर्दिष्ट दृश्यों को लोड करने और उन्हें ऑर्थोग्राफ़िक प्रक्षेपण में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। यह बहुभुज मॉडल के साथ काम करने के बुनियादी सिद्धांतों को प्रदर्शित करता है।

लेकिन स्पष्टता में सुधार के लिए सरलीकरण के कारण इसके निम्नलिखित महत्वपूर्ण नुकसान हैं:

1) शीर्षों, चेहरों, मॉडलों की संख्या सीधे प्रोग्राम में निर्दिष्ट की जाती है, और गतिशील मेमोरी का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक गतिशील एक-आयामी सरणी, जिसके लिए मेमोरी दृश्य लोड करते समय आवंटित की जाएगी।

2) यदि कई समान मॉडल हैं जो केवल अंतरिक्ष में स्थिति और अभिविन्यास में भिन्न हैं, तो उनकी ज्यामिति का वर्णन करने वाला डेटा दोहराया जाता है, उदाहरण के लिए, गोले के कई मॉडल। मॉडल को दो घटकों में विभाजित करने की सलाह दी जाती है: ज्यामितीय, चेहरों और शीर्षों का विवरण संग्रहीत करना, और टोपोलॉजिकल, यानी। अंतरिक्ष में स्थित किसी वस्तु का एक विशिष्ट उदाहरण।

3) डेटा संरचनाओं का विवरण और उनका समर्थन करने वाली विधियों को एक अलग मॉड्यूल में अलग किया जाना चाहिए, फिर इसका उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, आदिम पीढ़ी के कार्यक्रमों में

इस प्रकार, बहुभुज ज्यामितीय मॉडल वर्तमान में हावी हैं। यह उनके सॉफ़्टवेयर और हार्डवेयर प्रतिनिधित्व की सरलता के कारण है। अवसरों की निरंतर वृद्धि के कारण

एक ओर कंप्यूटिंग तकनीक और दूसरी ओर मॉडलों की गुणवत्ता की आवश्यकताओं के कारण, नए प्रकार के मॉडलों पर गहन शोध किया जा रहा है।

परीक्षण प्रश्न और अभ्यास

1. ज्यामितीय मॉडल अन्य प्रकार के मॉडल से किस प्रकार भिन्न हैं?

2. एक ज्यामितीय मॉडल के मुख्य घटकों का नाम बताइए।

3. समन्वय मॉडल विश्लेषणात्मक मॉडल से किस प्रकार भिन्न हैं?

4. किस प्रकार के ज्यामितीय मॉडल मौजूद हैं?

5. बहुभुज मॉडल व्यापक क्यों हैं?

6. आप बहुभुज मॉडल को परिभाषित करने की कौन सी विधियाँ जानते हैं?

7. बहुभुज मॉडल के क्या नुकसान और सीमाएँ हैं?

8. डोडेकाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और गोले के बहुभुज मॉडल के निर्माण के लिए एल्गोरिदम लागू करें।

9. टोरस के बहुभुज मॉडल के निर्माण के लिए एक एल्गोरिदम का प्रस्ताव करें।

10. आप संग्रहीत डेटा की मात्रा कैसे कम कर सकते हैं?

वीकंप्यूटर मेमोरी, समान बहुभुज मॉडल के बार-बार उपयोग के साथ?

बहुत से लोग कागज से नकली सामान बनाना पसंद करते हैं, और यह उनकी उम्र पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है; बच्चे और वयस्क दोनों ही इस गतिविधि के प्रति संवेदनशील होते हैं। अंतर केवल इतना है कि वयस्क अधिक जटिल आकृतियाँ बनाना पसंद करते हैं। किसी कारण से, ज्यामितीय आकृतियाँ विशेष रूप से अक्सर बनाई जाती हैं। हमारे लेख में हम आपको बताएंगे कि कागज से इकोसाहेड्रोन कैसे बनाया जाता है। यह एक जटिल, नियमित बहुभुज को दिया गया नाम है, जिसके बीस त्रिकोणीय फलक और तीस किनारे हैं। जैसा कि आपने देखा होगा, यह आंकड़ा दिखने में काफी जटिल है। भले ही आप ओरिगेमी में नए हैं, हमारी विधि जटिल नहीं लगेगी और आप इसे आसानी से कागज से चिपका सकते हैं।

इसे बनाने में उपयोग की जाने वाली विभिन्न प्रकार की सामग्रियों में से, आप निम्नलिखित ले सकते हैं: लहरदार कागज़, पन्नी, उपहार लपेटने के लिए कागज या फूल। विभिन्न अन्य सामग्रियों की मदद से आप अपने फिगर को बेहतर बना सकते हैं और उसे सजा सकते हैं। इस मामले में अपनी कल्पना को सीमित न रखें और इससे आपको मदद मिलेगी।

शुरू करने से पहले, आपको तैयारी करने की ज़रूरत है। इसके लिए आपको निम्नलिखित सामग्री उपयोगी लग सकती है:

1. एक खाली आकृति जिसे हमारी आकृति के लिए सामग्री में स्थानांतरित करने की आवश्यकता है।
2. गोंद। पीवीए का उपयोग करना सबसे अच्छा है - यह काफी देर तक सूखता है ताकि आप चिपकाते समय गलतियों को सुधार सकें।
3. कैंची।
4. शासक।

एक बार जब आप सभी आवश्यक घटक प्राप्त कर लें, तो आप काम शुरू कर सकते हैं। अब हम एक आरेख प्रस्तुत करेंगे जिसके द्वारा यह आकृति बनाई जा सकती है:

तो, हमारी मूर्ति तैयार है और अब आप इसे सजाना शुरू कर सकते हैं। इसे पेंट या पेंसिल से रंगा जा सकता है, या तार पर लटकाया जा सकता है। विभिन्न चमक और बारिश के टुकड़े भी उत्तम हैं। बहुत बार, ऐसी सजावट का उपयोग खिलौने के रूप में किया जा सकता है क्रिसमस ट्री. इसके अलावा, आप आइकोसाहेड्रोन, अर्थात् एक सॉकर बॉल, जो एक कटी हुई आकृति है, का उपयोग करके एक बहुत ही मजेदार काम कर सकते हैं। यदि आप इसे ध्यान से जांचेंगे, तो आप देखेंगे कि इसमें बारह पंचकोण और बीस षट्कोण शामिल हैं, जो एक ही आकार के हैं। चित्रित मूर्ति बहुत अच्छी लगेगी, और अलग-अलग रंग की होगी सरल तत्वइस अंतर को और भी मजबूती से दिखाएंगे.

यदि यह विचार आपको रुचिकर लगता है, तो नीचे हम एक विकास प्रस्तुत करते हैं जिससे आप एक गेंद बना सकते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कागज़ की आकृतियाँ बनाना एक बहुत ही दिलचस्प प्रक्रिया है। एक बार जब आप एक आइकोसाहेड्रोन बनाना सीख जाते हैं, तो आप अन्य, अधिक जटिल चीजों की ओर आगे बढ़ सकते हैं। ज्यामितीय आकार. यह उन बच्चों के लिए विशेष रूप से उपयोगी है जो कम उम्र से ही स्थानिक सोच विकसित कर सकते हैं, ज्यामिति का अध्ययन कर सकते हैं और सुधार कर सकते हैं फ़ाइन मोटर स्किल्स. यदि बच्चा बहुत छोटा है, तो माता-पिता की मदद की आवश्यकता हो सकती है, हालाँकि, वह ख़ुशी से तैयार खिलौने के साथ खेलेगा। फिर भी, यह गतिविधि वयस्कों के लिए भी उपयोगी होगी - यह एक महान शौक है जो आपको आराम करने या बस समय गुजारने में मदद कर सकता है। यदि आपको वह काम पसंद है जो श्रमसाध्य नहीं है और जिस पर ध्यान देने की आवश्यकता है, तो यह गतिविधि वही है जिसकी आपको आवश्यकता है।

हम आशा करते हैं कि कागज से एक इकोसाहेड्रोन कैसे बनाया जाए, इस पर हमारा लेख आपके लिए रुचिकर होगा। शायद यह इस आंकड़े के साथ है कि आप कागज शिल्प बनाना शुरू कर देंगे। आपके सभी प्रयासों में शुभकामनाएँ और सफलता!

वीडियो पाठ

यदि आप कुसुदामा बनाने में रुचि रखते हैं, तो आप संभवतः बहुफलकीय आकृतियों की सुंदरता और पूर्णता देखने के लिए इसे एकत्र करना चाहेंगे। यदि ऐसा है, तो आपको निश्चित रूप से सोनोबे मॉड्यूल का अध्ययन करने की आवश्यकता है, जो अधिकांश का आधार बन गया है।

यह भाग एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें कई मॉड्यूल को एक साथ जोड़ने के लिए पॉकेट हैं। इनकी सहायता से आप कोई भी त्रि-आयामी आकृति बना सकते हैं। यह नाम आविष्कारक मित्सुनोबु सोनोबे के नाम पर पड़ा।

कुसुदामा को इकट्ठा करने के लिए, आपको 9X9 सेमी या 5X5 सेमी आकार के वर्गों से 30 मॉड्यूल तैयार करने की आवश्यकता है। वास्तव में, आकार व्यक्तिगत पसंद का मामला है, जैसा कि इकोसाहेड्रोन के लिए रंग की पसंद है। प्रयोग करें और अपनी अनूठी रचनाएँ बनाएँ।

सोनोबे मॉड्यूल कैसे बनाएं

1. एक चौकोर शीट लें और उसे आधा मोड़ें।
2. इच्छित केंद्र रेखा की विपरीत भुजाओं को सीधा करें। सिलवटों को अच्छे से आयरन करें।
3. चादर सीधी करो. ऊपरी बाएँ सिरे को और निचले दाएँ सिरे को मोड़ें।
4. उन्हीं सिरों को झुकाते हुए दोबारा दोहराएं।
5. विपरीत भुजाओं को केंद्र में एक साथ लाएँ।
6. निचले बाएँ कोने को ऊपर की ओर इंगित करें ताकि भुजाएँ मिलें। दूसरी ओर, मोड़ को विपरीत स्थिति में दोहराएं।
7. लिफाफे जैसी आकृति बनाने के लिए ढीले सिरों को जेब में डालें।
8. वर्कपीस को तिरछे मोड़ें।
9. सिरों को दोनों तरफ से बाहर की ओर मोड़ें ताकि वे छोटे त्रिकोण में बदल जाएं।
10. सोनोबे मॉड्यूल का विस्तार करें।
11. वर्गों का उपयोग करके इनमें से 29 और बनाएं। अलग - अलग रंगया एक स्वर.

कागज से एक इकोसाहेड्रोन को असेंबल करना

आसन्न भाग की जेब में सिरों को डालकर तीन मॉड्यूल से एक पिरामिड इकट्ठा करें। यह फोटो के अनुसार निकलेगा।

ओरिगेमी में सबसे लोकप्रिय क्षेत्रों में से एक 3डी मॉडलिंग है। त्रि-आयामी आकृतियाँ बनाना न केवल बच्चों, बल्कि वयस्कों का भी ध्यान आकर्षित करता है। यदि आपने पहले से ही सबसे सरल पैटर्न और तकनीकों में महारत हासिल कर ली है और कागज से कम से कम एक घन बनाना सीख लिया है, तो आप अधिक जटिल मॉडल की ओर आगे बढ़ सकते हैं। तथाकथित "प्लेटोनिक ठोस" बनाने का अभ्यास करना सबसे अच्छा है। उनमें से केवल पाँच हैं: टेट्राहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन, हेक्साहेड्रोन, डोडेकाहेड्रोन और ऑक्टाहेड्रोन। सभी आंकड़े सरलतम पर आधारित हैं। आज आप सीखेंगे कि कागज से एक इकोसाहेड्रोन कैसे बनाया जाता है।

सामग्री और उपकरणों की सूची

• पतले रंगीन कार्डबोर्ड की एक शीट (पसंदीदा घनत्व 220 ग्राम/एम2 है)।
• तेज़ कैंची या उपयोगी चाकू।
• सरल एन.वी.
• लंबा लकड़ी का शासक (कम से कम 20 सेमी)।
• रबड़।
• तरल पीवीए गोंद या पेंसिल।
• ब्रश।

निर्देश

यदि आप पूरी तरह से समझते हैं कि कागज से एक इकोसाहेड्रोन कैसे बनाया जाता है, तो आप एक अधिक जटिल मॉडल - एक काटे गए इकोसाहेड्रोन को इकट्ठा करने का अभ्यास कर सकते हैं। इस आकृति में 32 फलक हैं: 12 समबाहु पंचकोण और 20। तैयार रूप में और उचित रंग के साथ, यह कागज की बहुत याद दिलाता है। असेंबली सिद्धांत समान है, केवल टेम्पलेट में अंतर है। काटे गए आइकोसाहेड्रोन का विकास करना बहुत कठिन है, इसलिए इसे प्रिंटर पर प्रिंट करना बेहतर है। आपको बहुत मोटा कागज चुनना चाहिए, अन्यथा आकृति अपना आकार नहीं बनाए रखेगी, और उन जगहों पर ढीलापन आ सकता है जहां दबाव डाला जाता है।

ओरिगेमी और 3डी मॉडलिंग किसी मित्रतापूर्ण या पारिवारिक शाम को बिताने का एक शानदार तरीका है। ऐसी गतिविधियाँ एक अच्छी बौद्धिक पृष्ठभूमि बनाती हैं और स्थानिक कल्पना विकसित करने में मदद करती हैं।