Luonnolliset kokonaisreaaliluvut. Numeroiden tyypit. Luonnollinen, kokonaisluku, rationaalinen ja todellinen

17.08.2019

Luonnollisten lukujen määritelmät ovat kokonaislukuja positiivisia lukuja. Luonnollisia lukuja käytetään esineiden laskemiseen ja moniin muihin tarkoituksiin. Nämä luvut ovat: 1; 2; 3; neljä;...

Tämä on luonnollinen numerosarja.
Onko nolla luonnollinen luku? Ei, nolla ei ole luonnollinen luku.
Kuinka monta luonnollista lukua on? Luonnollisia lukuja on ääretön joukko.
Mikä on pienin luonnollinen luku? Yksi on pienin luonnollinen luku.
Mikä on suurin luonnollinen luku? Sitä ei voida määrittää, koska luonnollisia lukuja on ääretön joukko.

Luonnollisten lukujen summa on luonnollinen luku. Joten luonnollisten lukujen a ja b yhteenlasku:

Luonnollisten lukujen tulo on luonnollinen luku. Joten luonnollisten lukujen a ja b tulo:

c on aina luonnollinen luku.

Luonnollisten lukujen ero Aina ei ole luonnollista lukua. Jos minuendi on suurempi kuin osaluku, niin luonnollisten lukujen erotus on luonnollinen luku, muuten se ei ole.

Luonnollisten lukujen osamäärä Luonnollista lukua ei aina ole. Jos luonnollisille luvuille a ja b

missä c on luonnollinen luku, se tarkoittaa, että a on tasaisesti jaollinen b:llä. Tässä esimerkissä a on osinko, b on jakaja, c on osamäärä.

Luonnollisen luvun jakaja on luonnollinen luku, jolla ensimmäinen luku on tasan jaollinen.

Jokainen luonnollinen luku on jaollinen 1:llä ja itsellään.

Yksinkertaiset luonnolliset luvut ovat jaollisia vain 1:llä ja itsellään. Tässä se tarkoittaa, että ne ovat täysin jakautuneet. Esimerkki, numerot 2; 3; 5; 7 on jaollinen vain 1:llä ja itsellään. Nämä ovat yksinkertaisia luonnollisia lukuja.

Yhtä ei pidetä alkulukuna.

Lukuja, jotka ovat suurempia kuin yksi ja jotka eivät ole alkulukuja, kutsutaan yhdistelmäluvuiksi. Esimerkkejä yhdistelmäluvuista: 4; 6; kahdeksan; 9; kymmenen

Yhtä ei pidetä yhdistelmälukuna.

Luonnollisten lukujen joukko koostuu yhdestä, alkuluvuista ja yhdistelmäluvuista.

Luonnollisten lukujen joukko on merkitty latinalaisella kirjaimella N.

Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskuominaisuudet:

lisäyksen kommutatiivinen ominaisuus

lisäyksen assosiatiivinen ominaisuus

(a + b) + c = a + (b + c);

kertolasku kommutatiivinen ominaisuus

kertomisen assosiatiivinen ominaisuus

(ab)c = a(bc);

kertolaskun jakautumisominaisuus

a (b + c) = ab + ac;

Kokonaislukuja

Kokonaisluvut ovat luonnollisia lukuja, nolla ja luonnollisten lukujen vastakohta.

Luonnollisten lukujen vastaiset luvut ovat negatiivisia kokonaislukuja, esimerkiksi: -1; -2; -3; - neljä;...

Kokonaislukujoukkoa merkitään latinalaisella kirjaimella Z.

Rationaaliset luvut

Rationaaliluvut ovat kokonaislukuja ja murtolukuja.

Mikä tahansa rationaalinen luku voidaan esittää jaksollisena murtolukuna. Esimerkkejä: -1, (0); 3, (6); 0, (0);...

Esimerkeistä voidaan nähdä, että mikä tahansa kokonaisluku on jaksollinen murtoluku, jonka jakso on nolla.

Mikä tahansa rationaalinen luku voidaan esittää murto-osana m/n, jossa m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Esitetään edellisen esimerkin luku 3,(6) sellaisena murto-osana: 22/6 = 3,(6);

Toinen esimerkki: rationaalinen luku 9 voidaan esittää yksinkertaisena murtolukuna 18/2 tai 36/4.

Toinen esimerkki: rationaalinen luku -9 voidaan esittää yksinkertaisena murtolukuna -18/2 tai -72/8.

Rationaalilukujen joukko on merkitty latinalaisella kirjaimella Q.

Irrationaalisia lukuja

Irrationaaliset luvut ovat äärettömiä ei-toistuvia desimaalilukuja.

Esimerkkejä: pi = 3,141592... e = 2,718281...

Oikeita lukuja

Reaaliluvut ovat kaikki rationaalisia ja kaikki irrationaalisia lukuja.

Reaalilukujoukkoa merkitään latinalaisella kirjaimella R.

Numeroiden tyypit. Luonnollinen, kokonaisuus, rationaalinen ja todellinen Numero on abstraktio, jota käytetään objektien kvantifiointiin. Numerot syntyivät primitiivisessä yhteiskunnassa ihmisten tarpeen laskea esineitä yhteydessä. Ajan myötä tieteen kehittyessä numerosta on tullut tärkein matemaattinen käsite.

Ongelmien ratkaisemiseksi ja erilaisten lauseiden todistamiseksi sinun on ymmärrettävä, minkä tyyppiset luvut ovat. Pääasiallisia lukutyyppejä ovat: luonnolliset luvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut, reaaliluvut.

Kokonaisluvut- nämä ovat numeroita, jotka on saatu esineiden luonnollisella laskennalla tai pikemminkin niiden numeroinnilla ("ensimmäinen", "toinen", "kolmas" ...). Luonnollisten lukujen joukko on merkitty latinalaisella kirjaimella N(voidaan muistaa englannin sanan natural perusteella). Sen voi sanoa N ={1,2,3,....}

Kokonaislukuja ovat numeroita joukosta (0, 1, -1, 2, -2, ....). Tämä joukko koostuu kolmesta osasta - luonnolliset luvut, negatiiviset kokonaisluvut (luonnollisten lukujen vastakohta) ja numero 0 (nolla). Kokonaisluvut on merkitty latinalaisella kirjaimella Z. Sen voi sanoa Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}.

Rationaaliset luvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää murtolukuna, missä m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Tässä tapauksessa kutsutaan numeroa m osoittaja, ja numero n - nimittäjä murto-osia. Tällainen murtoluku tulee ymmärtää m:n jakamisen tuloksena n:llä, vaikka sitä ei voidakaan jakaa kokonaan. Latinalaista kirjainta käytetään merkitsemään rationaalisia lukuja K. Q={... ;-3;-2,5;-2;-1;0; ;1;2;3;3,5....}. Kaikki luonnolliset ja kokonaisluvut ovat rationaalisia. Esimerkkeinä rationaaliluvuista voit myös antaa: , , . AT oikea elämä rationaalilukuja käytetään joidenkin kokonaisten mutta jaettavissa olevien esineiden, kuten kakkujen tai muiden useisiin paloiksi leikattujen ruokien, osien laskemiseen tai laajennettujen esineiden tilasuhteiden karkeasti arvioimiseen.

Oikeat (oikeat) numerot on luku, jota käytetään mittaamaan jatkuvia määriä. Reaalilukujoukkoa merkitään latinalaisella kirjaimella R. Reaaliluvut sisältävät rationaaliluvut ja irrationaaliset luvut. Irrationaaliset luvut ovat lukuja, jotka saadaan suorittamalla erilaisia operaatioita rationaalisille luvuille (esimerkiksi poimimalla juuri, laskemalla logaritmit), mutta jotka eivät ole rationaalisia samaan aikaan. Esimerkkejä irrationaalisista luvuista ovat , , .

Mikä tahansa reaaliluku voidaan näyttää numerorivillä:

Yllä luetelluille numerosarjoille seuraava väite pitää paikkansa:

Eli luonnollisten lukujen joukko sisältyy kokonaislukujen joukkoon. Kokonaislukujen joukko sisältyy rationaalilukujen joukkoon. Ja rationaalilukujen joukko sisältyy reaalilukujen joukkoon. Tämä väite voidaan havainnollistaa käyttämällä Eulerin ympyröitä.

Tarkoitus: Tietää mikä luonnollinen, kokonaisluku, rationaalinen luku, jaksollinen murtoluku on; osaa kirjoittaa ääretön desimaalimurto tavallisen muodossa, osaa suorittaa toimintoja desimaali- ja tavallisilla murtoluvuilla.

1. Yhdistää opiskelumateriaalia muuttamalla työn tyyppejä aiheesta "Kokonaisluvut ja rationaaliset luvut".
2. Kehittää taitoja ja kykyjä toimintojen suorittamisessa desimaali- ja tavallisilla murtoluvuilla, kehittää loogista ajattelua, oikeaa ja osaavaa matemaattista puhetta, kehittää itsenäisyyttä ja luottamusta tietoihinsa ja taitoihinsa erilaisissa töissä.
3. Lisää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan ottamalla käyttöön erilaisia aineiston konsolidointimuotoja: suullinen työ, työ oppikirjan kanssa, työskentely taulun ääressä, kysymyksiin vastaaminen ja itsetutkiskelukyky, itsenäinen työskentely; kannustaa ja kannustaa opiskelijoiden toimintaan.

minä Ajan järjestäminen.
II. Uusi aihe:
"Kokonaisluvut ja rationaaliluvut".
1. Teoreettinen osa.
2. Käytännön osa.
3. Työskentele oppikirjan mukaan ja taulun ääressä.
4. Itsenäinen työ vaihtoehtojen mukaan.
III. Tulokset.
1. Kysymyksiin.
IV. Kotitehtävät.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki.

Opettajan ja oppilaiden emotionaalinen mieliala ja valmius oppitunnille. Tavoitteiden ja tavoitteiden viestintä.

II. Uusi aihe: "Kokonaisluvut ja rationaaliset luvut":

Teoreettinen osa.

1. Aluksi luku ymmärrettiin vain luonnollisina lukuina. Mikä riittää yksittäisten kohteiden laskemiseen.

Aseta N = (1; 2; 3...) luonnolliset luvut on suljettu yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden alla. Tämä tarkoittaa, että luonnollisten lukujen summa ja tulo ovat luonnollisia lukuja.

2. Kahden luonnollisen luvun ero ei kuitenkaan ole enää aina luonnollinen luku.

(Anna esimerkkejä: 5 - 5 = 0; 5 - 7 = - 2, luvut 0 ja - 2 eivät ole luonnollisia).

Siten kahden identtisen luonnollisen luvun vähentämisen tulos johtaa nollan käsitteeseen ja johdatukseen ei-negatiivisten kokonaislukujen joukkoa

Z0 = (0; 1; 2;...).

3. Jotta vähennysoperaatio olisi mahdollista, syötä negatiivisia kokonaislukuja eli luonnollisten lukujen vastaisia lukuja. Siten saadaan joukko kokonaislukuja Z={...; -3; -2; -1; 0; 1; 2;...}.

Jotta millä tahansa luvulla jakaminen ei ole nollaa mahdollista, kaikkien positiivisten ja negatiivisten murtolukujen joukko on lisättävä kaikkien kokonaislukujen joukkoon. Tulos on rationaalilukujen joukko Q=.

Kun rationaalisille luvuille suoritetaan neljä aritmeettista operaatiota (paitsi nollalla jako), saadaan aina rationaalilukuja.

4. Jokainen rationaalinen luku voidaan esittää jaksollisena desimaalilukuna.

Muistetaan mikä on jaksollinen murto-osa. Tämä on ääretön desimaaliluku, jossa tietystä desimaalista alkaen toistetaan sama numero tai useita numeroita - murto-osan jakso. Esimerkiksi 0,3333…= 0,(3);

1,057373…=1,05(73).

Nämä murtoluvut luetaan seuraavasti: "0 kokonaista ja 3 jaksossa", "1 kokonaisuus, 5 sadasosaa ja 73 jaksossa".

Kirjoitamme rationaaliset luvut äärettömänä jaksollisena desimaalilukuna:

luonnollinen luku 25 = 25.00…= 25,(0);

kokonaisluku -7 = -7,00…= -7,(0);

(käytämme kulmanjakoalgoritmia).

5. Myös käänteinen väite on totta: jokainen ääretön jaksollinen desimaaliluku on rationaalinen luku, koska se voidaan esittää murtolukuna, missä m on kokonaisluku, n on luonnollinen luku.

Harkitse esimerkkiä:

1) Olkoon x \u003d 0,2 (18) kertomalla 10:llä, saamme 10x \u003d 2,1818 ... (Sinun on kerrottava murtoluku 10 n:llä, missä n on tämän murto-osan tietueen sisältämien desimaalien määrä ylös ajanjaksolle: x10 n).

2) Kerrotaan viimeisen yhtälön molemmat puolet 100:lla, saadaan

1000x = 218,1818…(Kertomalla 10 k:lla, missä k on numeroiden lukumäärä jaksolla x10 n 10 k = x10 n+k).

3) Vähentämällä yhtälöstä (2) yhtäläisyydestä (1), saadaan 990x = 216, x = .

Käytännön osa.

1. Kirjoita desimaalilukuna:

1) - laudalla;

3) - taululle yksi opiskelija kirjoittaa päätöksensä, loput päättävät kentällä ja tarkistavat sitten toisensa;

4) - sanelussa kaikki suorittavat tehtävän, ja yksi puhuu ääneen.

2. Suorita toiminnot ja kirjoita tulos desimaalilukuna:

1) - laudalla;

3) - sanelussa kaikki suorittavat tehtävän, ja yksi puhuu ääneen;

5) - itsenäisesti jälkitarkastuksen kanssa.