सभी जटिल मूल मान खोजें

08.09.2023

साथऔर प्राकृतिक संख्या एन 2 .

जटिल संख्या जेडबुलाया जड़एन– सी, अगर जेड एन = सी.

आइए मूल के सभी मान ज्ञात करें एन– ओह एक सम्मिश्र संख्या की शक्ति साथ. होने देना सी=| सी|·(ओल आर्ग सी+ मैं· पाप आर्गसाथ),ए जेड = | जेड|·(साथओएस आर्ग जेड + मैं· पाप आर्ग जेड) , कहाँ जेडजड़ एन- ओह एक सम्मिश्र संख्या की शक्ति साथ. तो यह होना ही चाहिए = सी = | सी|·(ओल आर्ग सी+ मैं· पाप आर्गसाथ). यह इस प्रकार है कि
और एन· आर्ग जेड = आर्गसाथ
आर्ग जेड =
(क=0,1,…) . इस तरह, जेड =
(ओल
+ मैं· पाप
), (क=0,1,…) . यह देखना आसान है कि कोई भी मान
, (क=0,1,…) संगत मानों में से एक से भिन्न है
,(क = 0,1,…, एन-1) एकाधिक द्वारा 2π. इसीलिए , (क = 0,1,…, एन-1) .

उदाहरण।

आइए (-1) के मूल की गणना करें.

, ज़ाहिर तौर से |-1| = 1, आर्ग (-1) = π

-1 = 1·(ओल π + मैं· पाप π )

, (के = 0, 1).

= मैं

एक मनमाना तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

आइए एक मनमाना सम्मिश्र संख्या लें साथ. अगर एनफिर प्राकृतिक संख्या साथ एन = | सी| एन ·(साथओएस nArgएस+मैं· पाप nArgसाथ)(6). यह फॉर्मूला इस मामले में भी सच है एन = 0 (s≠0)
. होने देना एन < 0 और एन जेडऔर एस ≠ 0, तब

साथ एन =
(क्योंकि nArgसाथ+आई·सिन नर्गसाथ) = (क्योंकि nArgसाथ+ मैं पाप nArgसाथ) . इस प्रकार, सूत्र (6) किसी के लिए भी मान्य है एन.

आइए एक परिमेय संख्या लें , कहाँ क्यूप्राकृतिक संख्या, और आरसंपूर्ण है.

फिर नीचे डिग्री सी आरहम संख्या को समझेंगे
.

हमें वह मिल गया ,

(क = 0, 1, …, क्यू-1). ये मूल्य क्यूटुकड़े, यदि अंश कम करने योग्य नहीं है।

व्याख्यान संख्या 3 सम्मिश्र संख्याओं के अनुक्रम की सीमा

प्राकृतिक तर्क का जटिल-मूल्यवान फलन कहलाता है सम्मिश्र संख्याओं का क्रमऔर नामित किया गया है (साथ एन ) या साथ 1 , साथ 2 , ..., साथ एन . साथ एन = ए एन + बी एन · मैं (एन = 1,2, ...) जटिल आंकड़े।

साथ 1 , साथ 2 , ... - अनुक्रम के सदस्य; साथ एन – सामान्य सदस्य

जटिल संख्या साथ = ए+ बी· मैंबुलाया जटिल संख्याओं के अनुक्रम की सीमा (सी एन ) , कहाँ साथ एन = ए एन + बी एन · मैं (एन = 1, 2, …) , किसी के लिए कहाँ

वो सबके सामने एन > एनअसमानता कायम है
. एक परिमित सीमा वाले अनुक्रम को कहा जाता है संमिलितअनुक्रम।

प्रमेय.

सम्मिश्र संख्याओं के अनुक्रम के लिए (साथ में) एन ) (साथ एन = ए एन + बी एन · मैं) के साथ एक संख्या में परिवर्तित हो गया = ए+ बी· मैं, समानता कायम रखने के लिए आवश्यक और पर्याप्त हैलिम ए एन = ए, लिम बी एन = बी.

सबूत।

हम निम्नलिखित स्पष्ट दोहरी असमानता के आधार पर प्रमेय को सिद्ध करेंगे

, कहाँ जेड = एक्स + य· मैं (2)

आवश्यकता.होने देना लिम(साथ एन ) = एस. आइए हम दिखाएँ कि समानताएँ सत्य हैं लिम ए एन = एऔर लिम बी एन = बी (3).

जाहिर है (4)

क्योंकि
, कब एन → ∞ , तो असमानता के बाईं ओर से (4) यह अनुसरण करता है
और
, कब एन → ∞ . इसलिए समानताएं (3) संतुष्ट हैं। आवश्यकता सिद्ध हो चुकी है।

पर्याप्तता.आइए अब समानताएं (3) संतुष्ट हों। समानता (3) से यह निष्कर्ष निकलता है
और
, कब एन → ∞ , इसलिए, असमानता के दाहिनी ओर (4) के कारण, यह होगा
, कब एन→∞ , मतलब लिम(साथ एन )=सी. पर्याप्तता सिद्ध हो चुकी है.

तो, जटिल संख्याओं के अनुक्रम के अभिसरण का प्रश्न दो वास्तविक संख्या अनुक्रमों के अभिसरण के बराबर है, इसलिए वास्तविक संख्या अनुक्रमों की सीमाओं के सभी बुनियादी गुण जटिल संख्याओं के अनुक्रमों पर लागू होते हैं।

उदाहरण के लिए, जटिल संख्याओं के अनुक्रम के लिए कॉची मानदंड मान्य है: सम्मिश्र संख्याओं के अनुक्रम के लिए (साथ में) एन ) अभिसरण करता है, यह किसी के लिए आवश्यक और पर्याप्त है

, वह किसी के लिए भीएन, एम > एनअसमानता कायम है
.

प्रमेय.

जटिल संख्याओं का एक क्रम दें (साथ एन ) और (जेड एन ) क्रमशः c और में अभिसरण करेंजेड, तो समानताएं सत्य हैंलिम(साथ एन जेड एन ) = सी जेड, लिम(साथ एन · जेड एन ) = सी· जेड. यदि यह निश्चित रूप से ज्ञात हो किजेड0 के बराबर नहीं है, तो समानता सत्य है
.

त्रिकोणमितीय रूप में संख्याएँ.

मोइवरे का सूत्र

मान लीजिए z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) और z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2)।

किसी सम्मिश्र संख्या को लिखने का त्रिकोणमितीय रूप गुणा, भाग, पूर्णांक घात तक बढ़ाने और डिग्री n का मूल निकालने के संचालन को करने के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है।

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i पाप( 1 +  2)).

दो सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करते समयत्रिकोणमितीय रूप में, उनके मॉड्यूल को गुणा किया जाता है और उनके तर्क जोड़े जाते हैं। बंटवारा करते समयउनके मॉड्यूल विभाजित हैं और उनके तर्क घटा दिए गए हैं।

किसी सम्मिश्र संख्या को गुणा करने के नियम का एक परिणाम एक सम्मिश्र संख्या को घात तक बढ़ाने का नियम है।

z = r(cos  + i पाप ).

z n = r n (cos n + isin n).

इस अनुपात को कहा जाता है मोइवरे का सूत्र.

उदाहरण 8.1 संख्याओं का गुणनफल और भागफल ज्ञात कीजिए:

और

समाधान

z 1 ∙z 2
∙

=

;

उदाहरण 8.2 किसी संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए

∙
-i) 7 .

समाधान

चलो निरूपित करें
और z 2 =
- मैं।

आर 1 = |जेड 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = आर्कटैन ;

z 1 =
;

आर 2 = |जेड 2 | = √(√ 3) 2 + (-1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = आर्कटैन
;

जेड 2 = 2
;

जेड 1 5 = (
) 5
; जेड 2 7 = 2 7

जेड = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 किसी सम्मिश्र संख्या का मूल निकालना

परिभाषा। जड़एनएक सम्मिश्र संख्या की वां घात z (निरूपित करें
) एक जटिल संख्या w है जैसे कि w n = z. यदि z = 0, तो
= 0.

मान लीजिए z  0, z = r(cos + isin). आइए हम w = (cos + syn) को निरूपित करें, फिर हम समीकरण w n = z को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

अत:  n = r,

 =

इस प्रकार wk =
·
.

इन मूल्यों के बीच बिल्कुल अलग-अलग मूल्य हैं।

इसलिए k = 0, 1, 2, …, n – 1.

जटिल तल पर, ये बिंदु त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित एक नियमित एन-गॉन के शीर्ष हैं
बिंदु O पर केंद्र के साथ (चित्र 12)।

चित्र 12

उदाहरण 9.1सभी मान खोजें
.

समाधान।

आइए इस संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें। आइए इसका मापांक और तर्क खोजें।

डब्ल्यू के =
, जहां k = 0, 1, 2, 3.

डब्ल्यू 0 =
.

डब्ल्यू 1 =
.

डब्ल्यू 2 =
.

डब्ल्यू 3 =
.

जटिल तल पर, ये बिंदु त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित एक वर्ग के शीर्ष हैं
मूल बिंदु पर केंद्र के साथ (चित्र 13)।

चित्र 13 चित्र 14

उदाहरण 9.2सभी मान खोजें
.

समाधान।

z = – 64 = 64(cos +isin);

डब्ल्यू के =
, जहां k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

डब्ल्यू 0 =
; डब्ल्यू 1 =
;

डब्ल्यू 2 =
डब्ल्यू 3 =

डब्ल्यू 4 =
; डब्ल्यू 5 =
.

जटिल तल पर, ये बिंदु बिंदु O (0; 0) पर केंद्र के साथ त्रिज्या 2 के एक वृत्त में अंकित एक नियमित षट्भुज के शीर्ष हैं - चित्र 14।

§ 10 सम्मिश्र संख्या का घातांकीय रूप।

यूलर का सूत्र

चलो निरूपित करें
= cos  + isin  और
= क्योंकि  - इसिन  . ये रिश्ते कहलाते हैं यूलर के सूत्र .

समारोह
इसमें एक घातीय फलन के सामान्य गुण होते हैं:

मान लीजिए सम्मिश्र संख्या z को त्रिकोणमितीय रूप z = r(cos + isin) में लिखा जाता है।

यूलर के सूत्र का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

जेड = आर
.

इस प्रविष्टि को कहा जाता है घातीय रूपजटिल संख्या। इसके प्रयोग से हमें गुणन, भाग, घातांक तथा मूल निकालने के नियम प्राप्त होते हैं।

यदि z 1 = r 1 ·
और z 2 = r 2 ·
?वह

जेड 1 · जेड 2 = आर 1 · आर 2 ·
;

जेड एन = आर एन ·

, जहां k = 0, 1, … , n – 1.

उदाहरण 10.1किसी संख्या को बीजगणितीय रूप में लिखिए

z =
.

समाधान।

उदाहरण 10.2समीकरण z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0 को हल करें।

समाधान।

किसी भी जटिल गुणांक के लिए, इस समीकरण के दो मूल z 1 और z 1 हैं (संभवतः मेल खाते हुए)। इन जड़ों को वास्तविक मामले में उसी सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है। क्योंकि
दो मान लेते हैं जो केवल चिह्न में भिन्न होते हैं, तो यह सूत्र इस प्रकार दिखता है: