Rationaalisten voimalauseiden muuntaminen esimerkkejä. Muunna irrationaaliset lausekkeet

07.08.2019

TARKOITUS: vakiinnuttaa ja parantaa tutkinto-ominaisuuksien soveltamistaitoja järkevällä indikaattorilla; kehittää taitoja suorittaa yksinkertaisia \u200b\u200bmuunnoksia lausekkeisiin, jotka sisältävät astetta murto-osoittimella.

LESSON TYYPPI: oppitunti tästä aiheesta saatujen tietojen yhdistämisestä ja soveltamisesta.

TEKSTIKIRJA: Algebra 9, toim. SA Telyakovsky.

LESSON STROKE

Opettajan esittely

"Ihmiset, jotka eivät tunne algebraa, eivät voi kuvitella hämmästyttäviä asioita, jotka voidaan saavuttaa ... nimitetyn tieteen avulla." GV Leibniz

Algebra avaa oven laboratoriokompleksiin "Tutkinto järkevällä indikaattorilla."

1. Frontaalitutkimus

1) Määritä tutkinto osittaisen indikaattorin avulla.

2) Millä murto-indikaattorilla aste määritetään pohjalla, joka on nolla?

3) Määritetäänkö aste murto-indikaattorilla negatiiviselle emäkselle?

Tehtävä: Esitä luku 64 asteina, joiden pohja on 2; 2; 8.

Mikä kuutio on 64?

Onko mitään muuta tapaa esittää numero 64 voimana rationaalisen eksponentin kanssa?

2. työskentele ryhmissä

1 ryhmä. Osoita, että lausekkeet (-2) 3/4; 0 -2 ei ole järkeä.

2 ryhmää. Kuvittele aste, jonka murto-osaeksponentti on juuri: 2 2/3; 3-1 | 3; -in 1,5; 5a 1/2; (x-y) 2/3.

3. ryhmä. Kuvittele tutkinnon muodossa murtoluku: v3; 8 va 4; 3v2 -2; v (x + y) 2/3; VVV.

3. Siirretään laboratorioon “Toiminta yli astetta”

Laboratorion usein vieraat ovat tähtitieteilijöitä. He tuovat "tähtitieteelliset numeronsa", altistavat heidät algebralle käsittelylle ja saavat hyödyllisiä tuloksia

Esimerkiksi etäisyys maasta Andromedan nebulaan ilmaistaan \u200b\u200bluvulla

95000000000000000000 \u003d 95 10 18 km;

sitä kutsutaan quintillion.

Auringon massa grammoina ilmaistaan \u200b\u200bluvulla 1983 10 30 g - nonalon.

Lisäksi laboratorioon kuuluvat muut vakavat tehtävät. Esimerkiksi lomakkeen lausekkeiden laskemisessa on usein ongelma:

a); b); c).

Laboratorion henkilökunta tekee tällaiset laskelmat sopivimmalla tavalla.

Voit muodostaa yhteyden töihin. Tätä varten toistamme asteiden ominaisuudet rationaalisin indikaattorein:

Laske tai yksinkertaista lauseke käyttämällä asteiden ominaisuuksia rationaalisten eksponenttien avulla:

1. ryhmä:

2 ryhmää:

3 ryhmää:

Tarkista: yksi henkilö ryhmästä pöydällä.

4. Vertailutehtävä

Kuinka vertaamalla asteiden ominaisuuksia lausekkeita 2 100 ja 10 30?

Vastaus on:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. Ja nyt kutsun sinut laboratorioon “Tutkintotutkinnot”.

Mitä muutoksia voimme tehdä asteissa?

1) Esitä numero 3 voimana eksponentilla 2; 3; -1.

2) Kuinka voin laskea lausekkeet a-b; in + suhteessa 1/2; a-2a 1/2; 2 x 2?

3) Pienennä fraktiota, jota seuraa ristikontrolli:

4) Selitä suoritetut muunnokset ja etsi lausekkeen arvo:

6. Työskentele oppikirjan kanssa. Nro 611 (g, d, e).

1 ryhmä: (g).

2 ryhmää: (d).

3 ryhmää: (e).

Nro 629 (a, b).

Keskinäinen testaus.

7. Suoritamme työpajan (itsenäinen työ).

Lausekkeet annetaan:

Kun pienennetään mitä murto-osia, käytetään vähennettyjä kertolaskuja ja yhteisen kertoimen haarukoita?

1 ryhmä: nro 1, 2, 3.

2 ryhmää: nro 4, 5, 6.

3 ryhmä: nro 7, 8, 9.

Kun suoritat tehtävän, voit käyttää suosituksia.

Jos esimerkitietue sisältää sekä astetta rationaalisella eksponentilla että n: nnen asteen juuret, kirjoita n: nnen asteen juuret asteiden muodossa rationaalisella eksponentilla.
Yritä yksinkertaistaa lauseketta, jolla toimenpiteet suoritetaan: avataan suluissa, käyttämällä lyhennetyn kertomuksen kaavaa, siirrytään asteelta, jolla on negatiivinen eksponentti, lausekkeeseen, joka sisältää asteita, joilla on positiivinen eksponentti.
Määritä toimintojen järjestys.
Seuraa vaiheita järjestyksessä.

Arvioi opettaja keräämällä muistikirjoja.

8. Kotitehtävä: nro 624, 623.

Teema: " Astetta sisältävien lausekkeiden muuntaminen murto-eksponentilla "

"Anna jonkun yrittää poistaa astetta matematiikasta, ja hän näkee, että et voi mennä pitkälle ilman niitä." (M.V. Lomonosov)

Oppitunnin tavoitteet:

koulutus:tiivistää ja systemaatisoida opiskelijoiden tietoa aiheesta "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla"; seurata aineiston hallintaa ja täyttää aukot opiskelijoiden tiedoissa ja taitoissa;

kehittämällä:kehittää opiskelijoiden omavalvontataitoja; luoda mielenkiintoinen ilmapiiri jokaiselle opiskelijalle työssä, kehittää opiskelijoiden kognitiivista toimintaa;

koulutus:herättää kiinnostusta aiheeseen, matematiikan historiaan.

Oppitunnin tyyppi: tiedon yleistämisen ja systemaation oppiminen

Varustus: tuloslomakkeet, toimeksiantokortit, dekooderit, ristisanat jokaiselle opiskelijalle.

Alustava valmistelu: luokka on jaettu ryhmiin, jokaisessa ryhmässä johtaja on konsultti.

LESSON STROKE

I. Organisaatiomomentti.

opettaja: Olemme opiskelleet aiheen ”Tutkinto rationaalisella indikaattorilla ja sen ominaisuudet” tutkimista. Tämän oppitunnin tehtäväsi on näyttää, kuinka opit opitun materiaalin ja kuinka osaat soveltaa hankittua tietoa tiettyjen ongelmien ratkaisemisessa. Jokaisella teistä on tulostaulukko pöydällä. Siinä teet merkinnän jokaiselle oppitunnin vaiheelle. Oppitunnin lopussa asetat keskimääräisen arvosanan oppitunnille.

Arkkiarkki

	Ristisanatehtävä	Lämmitä	Työskentele sisään muistikirja	yhtälö	Testaa itseäsi (c \\ p)

II. Kotitehtävien tarkistaminen.

Ristiintarkistus kynällä kädessä, opiskelijat lukevat vastaukset.

III. Opiskelijoiden tietojen päivittäminen.

opettaja: Kuuluisa ranskalainen kirjailija Anatole France sanoi tuolloin: "Oppimisen tulisi olla hauskaa. ... Tietojen vastaanottamiseksi sinun on absorboitava se ruokahaluen."

Toistamme tarvittavat teoreettiset tiedot ristisanatehtävän ratkaisemisen aikana.

Vaaka:

1. Toiminto, jolla asteen arvo lasketaan (Construction).

2. Samojen tekijöiden tuote (Tutkinto).

3. Tutkintoindikaattorien vaikutus tutkinnon nostamiseen (Tuote).

4. Asteiden vaikutus, jossa eksponentit vähennetään (Alue).

pystysuora:

5. Kaikkien yhtäläisten tekijöiden lukumäärä (Index).

6. Aste nolla-osoittimella (Unit).

7. Toistuva tekijä (Base).

8. Arvo 10 5: (2 3 5 5) (Neljä).

9. Eksponentti, jota ei yleensä kirjoiteta (Unit).

IV. Matematiikan harjoitus.

Opettaja. Toistamme tutkinnon määritelmän rationaalisella indikaattorilla ja sen ominaisuudet, suoritamme seuraavat tehtävät.

1. Esitä lauseke x 22 kahden asteen tuloksena kannan x kanssa, jos jokin tekijöistä on: x 2, x 5,5, x 1 \\ 3, x 17,5, x 0

2. Yksinkertaista:

b) y 5 \\ 8 y 1 \\ 4: y 1 \\ 8 \u003d y

c) s 1,4 s -0,3 s 2,9

3. Laske ja kirjoita sana dekooderilla.

Suoritettuaan tämän tehtävän te tiedätte saksalaisen matemaatikon nimen, joka esitteli termin ”eksponentti”.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Sana: 1234567 (pistoke)

V. Kirjallinen työ muistikirjoissa (vastaukset auki taululle) .

tehtävät:

1. Lausekkeen yksinkertaistamiseksi:

(x-2): (x 1 \\ 2 -2 1 \\ 2) (y-3): (y 1 \\ 2 - 3 1 \\ 2) (x-1): (x 2 \\ 3-x 1 \\ 3 +1)

2. Etsi lausekkeen arvo:

(x 3 \\ 8 x 1 \\ 4 :) 4 x \u003d 81

VI. Työskentele ryhmissä.

Tehtävä. Ratkaise yhtälöt ja kirjoita sana dekooderilla.

Kortin numero 1

Sana: 1234567 (diofantiini)

Kortin numero 2

Kortin numero 3

Sana: 123451 (Newton)

dekooderi

Opettaja. Kaikki nämä tutkijat ovat osallistuneet ”tutkinnon” käsitteen kehittämiseen.

VII. Historiallista tietoa tutkinnon käsitteen kehityksestä (opiskelijaviestintä).

Luonnollisen indikaattorin tutkinnon käsite muodostettiin jopa muinaisten kansojen keskuudessa. Numeron neliö ja kuutio käytettiin pinta-alojen ja tilavuuksien laskemiseen. Muinaisen Egyptin ja Babylonin tutkijat käyttivät joidenkin lukujen asteita ratkaiseessa tiettyjä ongelmia.

Kolmannella vuosisadalla julkaistiin kreikkalaisen tutkijan Diophantuksen kirja “Aritmeettiset”, jossa aakkosellinen symbolismi johdettiin. Diophantus esittelee symbolit tuntemattomalle kuudelle ensimmäiselle asteelle ja niiden käänteisarvoille. Tässä kirjassa neliö on merkitty merkillä indeksillä r; kuutio - k: n merkki indeksillä r jne.

Monimutkaisempien algebrallisten ongelmien ratkaisemisesta ja tutkintoihin liittyvästä käytännöstä tuli tarpeen yleistää tutkinnon käsite ja laajentaa sitä asettamalla indikaattoriksi nolla-, negatiivi- ja murto-luvut. Ajatus yleistää tutkinnon käsite tutkintoon luontaisella matematiikan indikaattorilla tuli vähitellen.

Jakeelliset eksponentit ja yksinkertaisimmat säännöt asteille toimimiseksi murto-eksponenttien kanssa löytyvät ranskalaiselta matemaatikolta Nikolai Oremilta (1323–1382) hänen teoksessaan “Osuuksien algoritmi”.

Tasa-arvoa ja 0 \u003d 1 (jos ei ole yhtä suuri kuin 0) käytettiin Samarkandin tutkijan Giyasaddin Kashi Dzhemshidin teoksissa 1500-luvun alussa. Siitä riippumatta Nikolai Schuke otti käyttöön nolla-indikaattorin 1500-luvulla. On tiedossa, että Nikolai Shuke (1445-1500) katsoi astetta negatiivisilla ja nolla-indikaattoreilla.

Myöhemmin murto-osa ja negatiiviset indikaattorit löytyvät saksalaisen matemaatikon M. Stiefelin ja Simon Stevinin julkaisusta Full Arithmetic (1544). Simon Stevin ehdotti 1 / n-juuren antamista.

Saksalainen matemaatikko M. Stifel (1487–1567) antoi 0 \u003d 1: n määritelmän ja esitteli nimimittarin (tämä on kirjallinen käännös saksalaisesta eksponentista). Saksalainen potenzieren tarkoittaa eksponentisaatiota.

1500-luvun lopulla François Viet esitteli kirjeitä, jotka kuvaavat muuttujien lisäksi myös niiden kertoimia. Hän käytti lyhenteitä: N, Q, C - ensimmäiselle, toiselle ja kolmannelle asteelle. Mutta modernit nimitykset (tyyppi 4, 5) XVII: ssä esittelivät Rene Descartesin.

Nykyaikaiset määritykset ja nimitykset asteista, joissa on nolla, negatiivinen ja murto-osa eksponentti, ovat peräisin englantilaisten matemaatikkojen John Wallisin (1616–1703) ja Isaac Newtonin (1643–1727) teoksista.

Nolla-, negatiivisten ja murto-indikaattorien sekä nykyaikaisten symbolien käyttöönoton tarkoituksenmukaisuus kirjoitettiin ensin yksityiskohtaisesti vuonna 1665, englantilainen matemaatikko John Wallis. Hänen työnsä valmistui Isaac Newton, joka alkoi systemaattisesti käyttää uusia symboleja, minkä jälkeen ne tulivat yleiseen käyttöön.

Tutkinnon asettaminen rationaalisella indikaattorilla on yksi monista esimerkkeistä matemaattisen toiminnan käsitteiden yleistämisestä. Aste nolla-, negatiivi- ja murto-indikaattoreilla määritetään siten, että siihen sovelletaan samoja toimintasääntöjä, jotka pätevät luonnollisen indikaattorin omaavalle asteelle, ts. niin, että alkuperäisen määritellyn tutkintokonseptin perusominaisuudet säilyvät.

Tutkimuksen uusi määritelmä rationaalisella indikaattorilla ei ole ristiriidassa vanhan luonnollisen indikaattorin määritelmän kanssa, toisin sanoen tutkinnon uuden määritelmän merkitys rationaalisella indikaattorilla säilyy myös luonnollisen indikaattorin tutkinnon erikoistapauksessa. Tätä periaatetta, jota havaitaan matemaattisten käsitteiden yleistyessä, kutsutaan pysyvyysperiaatteeksi (pysyvyyden ylläpitäminen). Epätäydellisessä muodossa sen ilmaisi vuonna 1830 englantilainen matemaatikko J. Peacock, ja saksalainen matemaatikko G. Hankel perusteli sen kokonaan ja selvästi vuonna 1867.

VIII. Tarkista itsesi.

Itsenäinen työskentely korteilla (vastaukset auki taululla) .

Vaihtoehto 1

1. Laske: (1 piste)

(a + 3a 1 \\ 2): (a 1 \\ 2 +3)

Vaihtoehto 2

1. Laske: (1 piste)

2. Yksinkertaista lauseketta: 1 piste

a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3 \\ 8) -5 \\ 6

3. Ratkaise yhtälö: (2 pistettä)

4. Yksinkertaista lauseketta: (2 pistettä)

5. Etsi lausekkeen arvo: (3 pistettä)

IX. Yhteenveto oppitunnista.

Mitä kaavoja ja sääntöjä muistit oppitunnissa?

Analysoi työtäsi oppitunnissa.

Arvioi oppitunnin opiskelijoiden työtä.

X. Kotitehtävät. K: P IV (toista) Art. 156-157 nro 4 (a-b), nro 7 (a-b),

Valinnainen: nro 16

hakemus

Arkkiarkki

F / I / opiskelija __________________________________________

	Ristisanatehtävä	Lämmitä	Työskentele sisään muistikirja	yhtälö	Testaa itseäsi (c \\ p)

Kortin numero 1

1) X1 \u003d 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3 \\ 5; 3) a 1 \u003d 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0,5 x 1,5 \u003d 1; 5) suhteessa 1 \u003d 3 \u003d 2; 6) a 2 \\ 7 a 12 \\ 7 \u003d 25; 7) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3

dekooderi

Kortin numero 2

1) X1 \u003d 3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \u003d 2 \u003d 3; 4) 1 \u003d 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1 \u003d 3 \u003d 2; 6) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3

dekooderi

Kortin numero 3

1) a 2 \\ 7 a 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \u003d 3 \u003d 2; 3) x -0,7 x 3,7 \u003d 8; 4) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3; 5) a 1 \u003d 2 \u003d 2 \\ 3

dekooderi

Kortin numero 1

dekooderi

Kortin numero 2

1) X1 \u003d 3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \u003d 2 \u003d 3; 4) 1 \u003d 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1 \u003d 3 \u003d 2; 6) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3

dekooderi

Kortin numero 3

1) a 2 \\ 7 a 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \u003d 3 \u003d 2; 3) x -0,7 x 3,7 \u003d 8; 4) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3; 5) a 1 \u003d 2 \u003d 2 \\ 3

dekooderi

Kortin numero 1

dekooderi

Kortin numero 2

1) X1 \u003d 3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \u003d 2 \u003d 3; 4) 1 \u003d 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1 \u003d 3 \u003d 2; 6) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3

dekooderi

Kortin numero 3

1) a 2 \\ 7 a 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \u003d 3 \u003d 2; 3) x -0,7 x 3,7 \u003d 8; 4) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3; 5) a 1 \u003d 2 \u003d 2 \\ 3

dekooderi

Vaihtoehto 1

1. Laske: (1 piste)

2. Yksinkertaista lauseketta: 1 piste

a) x 1 \\ 2 x 3 \\ 4 b) (x -5 \\ 6) -2 \\ 3

c) x -1 \\ 3: x 3 \\ 4 g) (0,04 x 7 \\ 8) -1 \\ 2

3. Ratkaise yhtälö: (2 pistettä)

4. Yksinkertaista lauseketta: (2 pistettä)

(a + 3a 1 \\ 2): (a 1 \\ 2 +3)

5. Etsi lausekkeen arvo: (3 pistettä)

(Y 1 \\ 2 -2) -1 - (Y 1 2 + 2) -1, kun y \u003d 18

Vaihtoehto 2

1. Laske: (1 piste)

2. Yksinkertaista lauseketta: 1 piste

a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3 \\ 8) -5 \\ 6

c) x 3 \\ 7: x -2 \\ 3 g) (0,008x-6 \\ 7) -1 \\ 3

3. Ratkaise yhtälö: (2 pistettä)

4. Yksinkertaista lauseketta: (2 pistettä)

(1,5 s - 1,5): (0,5 - 0,5)

5. Etsi lausekkeen arvo: (3 pistettä)

(x 3 \\ 2 + x 1 \\ 2): (x 3 \\ 2-x 1 \\ 2) x \u003d 0,75

KÄYTÄNNÖN TYÖ № 1

aihe: "Algebrallisten, rationaalisten, irrationaalisten, voimalausekkeiden muuntaminen."

Työn tarkoitus: oppia suorittamaan algebrallisten, rationaalisten, irrationaalisten, voimalausekkeiden muuntamisen käyttämällä lyhennetyn kertolaskukaavoja, juurten ja asteiden perusominaisuuksia.

Teoreettinen tieto.

Luonnollisen asteen juuret lukumäärästä, niiden ominaisuudet.

juuri n - astetta : , n - juurihakemistoja - juuri ilmaisu

jos n On pariton luku, tuo ilmaus on järkevää, kun ja

jos n Onko parillinen numero silloin lausekkeella on järkeä kun

Aritmeettinen juuri:

Negatiivisen luvun pariton juuri:

Juurien pääominaisuudet

Sääntö juurin purkamisesta teoksesta:

Juurin purkamisen sääntö juurista:

Sääntö tekijän poistamiseksi juurimerkistä:

Kertoimen lisääminen juurimerkin alle:

Juureksponentti ja radikaalin ilmaisun eksponentti voidaan kertoa samalla numerolla.

Sääntö juuren nostamisesta valtaan.

PERUSTE LUONNOLLISEN INDIKAATTORIN kanssa

= , - tutkinnon perusta,n - eksponentti

ominaisuudet:

Kun asteet kerrotaan samoilla emäksillä, indikaattorit kasvavat, mutta emäs pysyy ennallaan.

Kun jaetaan asteita samoilla emäksillä, indikaattorit vähennetään, ja emäs pysyy muuttumattomana.

Kun nostetaan virta valtaan, indikaattorit kerrotaan.

Kun nostetaan kahden luvun tuotetta voimaan, kukin luku nostetaan tälle voimalle ja tulokset kerrotaan.

Jos kahden luvun osamäärä nostetaan tehoon, niin osoittaja ja nimittäjä nostetaan tähän voimaan, ja tulos jaetaan keskenään.

KOKONAISMERKIN

ominaisuudet:

at r >0 > at r <0

7 . Kaikille rationaalille numeroiller jas epätasa-arvosta > oltava

> at >1 at

Lyhennetyt kertolaskukaavat.

Esimerkki 1Yksinkertaista lauseketta.

Käytämme asteiden ominaisuuksia (asteiden kertolasku samalla pohjalla ja asteiden jako samassa kannassa): .

Vastaus on: 9m 7 .

Esimerkki 2Pienennä fraktiota:

Ratkaisu: Joten murto-osan verkkotunnus on kaikki numerot paitsi x ≠ 1 ja x ≠ -2. Samanaikaisesti Kun pelkistetty fraktio saadaan, saadaan saadun fraktion määritelmäalue: x ≠ -2, ts. leveämpi kuin alkuperäisen jakeen määritelmäalue. Siksi fraktiot ja ovat yhtä suuria x ≠ 1: lle ja x ≠ -2: lle.

Esimerkki 3Pienennä fraktiota:

Esimerkki 4Yksinkertaistamiseksi:

Esimerkki 5Yksinkertaista:

Esimerkki 6 Yksinkertaistamiseksi:

Esimerkki 7 Yksinkertaistamiseksi:

Esimerkki 8Yksinkertaistamiseksi:

Esimerkki 9 Laske: .

Päätös.

Esimerkki 10Lausekkeen yksinkertaistamiseksi:

Päätös.

Esimerkki 11.Pienennä fraktiota, jos

Päätös. .

Esimerkki 12Päästä eroon irrationaalisuudesta jakson nimittäjässä

Päätös. Nimittäjässä meillä on toisen asteen irrationaalisuus, joten kerrotaan sekä murto-osan osoittaja että nimittäjä konjugoidulla lausekkeella, ts. Lukujen summalla, ja sitten nimittäjässä meillä on ruutujen ero, joka eliminoi irrationaalisuuden.

VAIHTOEHTO - minä

1. Yksinkertaista lauseketta: