यांत्रिकी में बलों की एक जोड़ी को बल की अवधारणा के साथ-साथ बुनियादी अवधारणाओं में से एक माना जाता है।

बलों की जोड़ी – दो समानांतर, विपरीत दिशा में निर्देशित और समान परिमाण वाले बलों की एक प्रणाली जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होती है।

कुछ बलों की कार्रवाई का विमान – वह तल जिसमें बलों की क्रिया रेखाएँ स्थित होती हैं।

बल युग्म का उत्तोलन – बलों की कार्रवाई की रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी (लंबवत लंबाई) जो बलों की एक जोड़ी बनाती है।

चित्र में. चित्र 1.34 बलों की एक जोड़ी को दर्शाता है, जिसकी क्रिया का तल OXY संदर्भ प्रणाली के OXY तल में स्थित है।

पॉवर्स एफ 1 , एफ 2 कुछ बल बनाते हैं। एफ 1 = एफ 2 ; एफ 1 = – एफ 2. हालाँकि, जोड़ी की ताकतें संतुलित नहीं हैं, क्योंकि वे एक सीधी रेखा में निर्देशित नहीं हैं। बलों की एक जोड़ी उस शरीर के घूर्णन को उत्पन्न करती है जिस पर इसे लागू किया जाता है। किसी पिंड पर बलों की एक जोड़ी की कार्रवाई उसके क्षण से निर्धारित होती है।

किसी पिंड पर बलों की एक जोड़ी की कार्रवाई को मात्रात्मक रूप से चित्रित करने और उस दिशा को इंगित करने के लिए जिसमें बलों की जोड़ी शरीर को घुमाती है, अवधारणा पेश की गई है बलों की एक जोड़ी का बीजगणितीय क्षण .

कुछ बलों का बीजगणितीय क्षण – उचित चिह्न के साथ लिया गया किसी एक बल और उसके कंधे के मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर मूल्य।

एम = ± एफ 1 एच = ± एफ 2 एच।

बलों की एक जोड़ी के बीजगणितीय क्षण को सकारात्मक माना जाता है यदि बलों की जोड़ी शरीर को वामावर्त घुमाती है, और यदि दक्षिणावर्त घूर्णन की दिशा में नकारात्मक होती है। एसआई प्रणाली में, कुछ बलों का क्षण एनएम में मापा जाता है।

चित्र में. 1.35 बलों की एक जोड़ी दिखाता है ( एफ 1 , एफ 2), जिसकी क्रिया रेखाएँ OXY तल में स्थित हैं।

कुछ ताकतों का क्षण – बलों की एक जोड़ी की यांत्रिक क्रिया का एक वेक्टर माप, दूसरे बल के अनुप्रयोग के बिंदु के सापेक्ष जोड़ी की ताकतों में से एक के क्षण के बराबर।

कुछ बलों के क्षण को वेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है एम. क्षण सदिश एमबलों के जोड़े ( एफ 1 , एफ 2) बलों की जोड़ी की कार्रवाई के विमान के लंबवत उस दिशा में निर्देशित होती है जहां से बलों की जोड़ी दिखाई देती है, जो दक्षिणावर्त घूर्णन के विपरीत दिशा में अपनी कार्रवाई के विमान को घुमाती है। परिभाषा के अनुसार (चित्र 1.35 देखें), एम^ जे, एम^ मैं, एम = एफ 1 ×एच = एफ 2 एच। इस प्रकार, बलों की एक जोड़ी पूरी तरह से अपने क्षण से चित्रित होती है एम.

प्रमेय. एक ही तल में स्थित बलों के जोड़े समतुल्य होते हैं यदि उनके बीजगणितीय क्षण संख्यात्मक रूप से बराबर हों और उनका चिह्न समान हो।

इस प्रमेय का प्रमाण सरल है और यहां नहीं दिया गया है।

प्रमेय से परिणाम:

1. बलों की एक जोड़ी, शरीर पर अपनी कार्रवाई को बदले बिना, घुमाई जा सकती है और अपनी कार्रवाई के विमान में किसी भी स्थान पर स्थानांतरित की जा सकती है।

2. बलों की एक जोड़ी के लिए, आप जोड़ी के बीजगणितीय क्षण और कार्रवाई के तल को बनाए रखते हुए, बल के उत्तोलन और मापांक को बदल सकते हैं।

प्रमेय का सार और उसके परिणाम चित्र में दर्शाए गए हैं। 1.36, जो समतुल्य बीजगणितीय और वेक्टर क्षणों के साथ बलों के जोड़े दिखाता है। बल युग्मों की क्रिया का तल YOZ तल के साथ मेल खाता है।

प्रमेय. अंतरिक्ष में बलों के जोड़े समतुल्य हैं यदि उनके क्षण ज्यामितीय रूप से समान हैं।

इस प्रमेय का प्रमाण भी काफी सरल है और यहां नहीं दिया गया है।

बलों के युग्मों पर प्रमेयों से यह अनुसरण करता है निष्कर्ष: शरीर पर बलों की एक जोड़ी की कार्रवाई को बदले बिना, बलों की एक जोड़ी को इसकी कार्रवाई के विमान के समानांतर किसी भी विमान में स्थानांतरित किया जा सकता है, और इसके क्षण के मापांक और दिशा को अपरिवर्तित रखते हुए इसके बल और उत्तोलन को भी बदला जा सकता है। .

इस प्रकार, बलों की एक जोड़ी के क्षण वेक्टर को किसी भी बिंदु पर स्थानांतरित किया जा सकता है, अर्थात, बलों की एक जोड़ी का क्षण है मुक्त वेक्टर .

बलों की एक जोड़ी का क्षण वेक्टर तीन तत्वों को निर्धारित करता है: जोड़ी की कार्रवाई के विमान की स्थिति; रोटेशन की दिशा; क्षण का संख्यात्मक मान (मॉड्यूल)।

आइए सादृश्य पर ध्यान दें: यदि बल वेक्टर के अनुप्रयोग बिंदु को इस बल की कार्रवाई की रेखा पर कहीं भी रखा जा सकता है ( स्लाइडिंग वेक्टर ), तो बलों की एक जोड़ी का वेक्टर क्षण शरीर के किसी भी बिंदु पर लागू किया जा सकता है ( मुक्त वेक्टर ).

शक्ति का क्षण. कुछ बल.

1. सांख्यिकी की बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ।

स्थैतिक में भौतिक वस्तुएँ:

भौतिक बिंदु,

भौतिक बिंदुओं की प्रणाली,

बिल्कुल ठोस शरीर.

भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली, या एक यांत्रिक प्रणाली,भौतिक बिंदुओं का एक संग्रह है जिसमें प्रत्येक बिंदु की स्थिति और गति इस प्रणाली के अन्य बिंदुओं की स्थिति और गति पर निर्भर करती है।

बिल्कुल कठोर शरीरएक पिंड है जिसके दो बिंदुओं के बीच की दूरी नहीं बदलती है।

एक ठोस पिंड आराम की स्थिति में या एक निश्चित प्रकृति की गति में हो सकता है। हम इनमें से प्रत्येक राज्य को कॉल करेंगे शरीर की गतिज अवस्था.

	बल- निकायों की यांत्रिक अंतःक्रिया का एक माप, जो इस अंतःक्रिया की तीव्रता और दिशा का निर्धारण करता है। बलएक बिंदु पर लगाया जा सकता है, तो यह बल है केंद्रित. बलकिसी दिए गए आयतन या शरीर की सतह के सभी बिंदुओं पर कार्य कर सकता है, तो यह बल है वितरित.
	बलों की प्रणाली - साथकिसी दिए गए शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियों की समग्रता।
	परिणामीबलों की एक निश्चित प्रणाली के समतुल्य बल कहा जाता है।
	एक संतुलनकारी शक्तिपरिणामी के परिमाण के बराबर और उसकी क्रिया की रेखा के अनुदिश विपरीत दिशा में निर्देशित बल कहलाता है।
	परस्पर संतुलित बलों की एक प्रणालीबलों की एक प्रणाली है, जो आराम की स्थिति में किसी ठोस वस्तु पर लागू होने पर उसे इस अवस्था से नहीं हटाती है।

आंतरिक शक्तियाँ- ये वे बल हैं जो किसी दिए गए सिस्टम के बिंदुओं या निकायों के बीच कार्य करते हैं।

बाहरी ताक़तें- ये वे बल हैं जो उन बिंदुओं या निकायों से कार्य करते हैं जो किसी दिए गए सिस्टम का हिस्सा नहीं हैं।

स्थैतिक कार्य:

- एक ठोस पिंड पर कार्य करने वाली शक्तियों की प्रणालियों का उनके समकक्ष प्रणालियों में परिवर्तन;

- उन पर लागू बलों के प्रभाव में निकायों की संतुलन स्थितियों का अध्ययन।

1. स्थैतिक के सिद्धांत.

		3. संतुलनकारी शक्तियों के योग और बहिष्करण का सिद्धांत. किसी ठोस पिंड पर बलों की प्रणाली की कार्रवाई नहीं बदलेगी यदि इसमें पारस्परिक रूप से संतुलित बलों की एक प्रणाली जोड़ दी जाए या बाहर कर दी जाए। परिणाम। किसी बिल्कुल कठोर पिंड की गतिक अवस्था को बदले बिना, बल को उसके मापांक और दिशा को अपरिवर्तित रखते हुए, उसकी क्रिया की रेखा के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है। साथ गाद - स्लाइडिंग वेक्टर.
	4. बलों के समांतर चतुर्भुज का अभिगृहीत. दो प्रतिच्छेदी बलों का परिणाम उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर लगाया जाता है और इन बलों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दर्शाया जाता है।

5. क्रिया और प्रतिक्रिया की समानता का सिद्धांत. प्रत्येक क्रिया की समान एवं विपरीत प्रतिक्रिया होती है।

2. कनेक्शन और उनकी प्रतिक्रियाएँ

एक कठोर पिंड को स्वतंत्र कहा जाता है यदि वह अंतरिक्ष में किसी भी दिशा में गति कर सकता है।

एक शरीर जो किसी दिए गए कठोर शरीर की गति की स्वतंत्रता को सीमित करता है, उसके संबंध में एक संबंध है।

एक कठोर पिंड जिसकी गति की स्वतंत्रता बंधनों द्वारा सीमित होती है, गैर-मुक्त कहलाता है।

एक गैर-मुक्त कठोर शरीर पर कार्य करने वाले सभी बलों को इसमें विभाजित किया जा सकता है:

• सक्रिय नियत करें)
• बंधन प्रतिक्रियाएँ

बल निर्धारित करें किसी दिए गए पिंड पर अन्य पिंडों की क्रिया को व्यक्त करता है जो इसकी गतिज अवस्था में परिवर्तन का कारण बन सकता है।

संचार प्रतिक्रिया - यह वह बल है जिसके साथ कोई दिया गया कनेक्शन शरीर पर कार्य करता है, उसकी किसी न किसी गतिविधि को रोकता है।

ठोसों को बंधनों से मुक्त करने का सिद्धांत - एक गैर-मुक्त ठोस शरीर को एक स्वतंत्र शरीर माना जा सकता है, जिस पर निर्दिष्ट बलों के अलावा, बांड की प्रतिक्रियाएं भी कार्य करती हैं।

किसी प्रतिक्रिया की दिशा कैसे निर्धारित करें?

यदि समतल पर दो परस्पर लंबवत दिशाएँ हैं, जिनमें से एक में कनेक्शन पिंड की गति को रोकता है, और दूसरे में नहीं, तो इसकी प्रतिक्रिया की दिशा पहली दिशा के विपरीत होती है।

सामान्य रूप में कनेक्शन की प्रतिक्रिया उस दिशा के विपरीत दिशा में निर्देशित होती है जिसमें कनेक्शन शरीर को हिलने की अनुमति नहीं देता है।

	स्थिर काज गतिमान

3. केंद्र के बारे में बल का क्षण

शक्ति का एक क्षण एफ किसी निश्चित केंद्र O के सापेक्ष बल वेक्टर से गुजरने वाले विमान के लंबवत स्थित एक वेक्टर है और केंद्र O उस दिशा में निर्देशित है ताकि इसके अंत से देखने पर कोई बल के घूर्णन को देख सके एफ केंद्र O के सापेक्ष वामावर्त।

केंद्र के सापेक्ष बल के क्षण के गुण:

	1) केंद्र के सापेक्ष बल के क्षण का मापांक त्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने द्वारा व्यक्त किया जा सकता है ओएवी (1.1) 2) केंद्र के सापेक्ष बल का क्षण शून्य के बराबरइस घटना में कि बल की कार्रवाई की रेखा इस बिंदु से होकर गुजरती है, अर्थात एच = 0 .
	3) यदि एक बिंदु से के बारे मेंबल के प्रयोग के बिंदु तक एएक त्रिज्या वेक्टर बनाएं, फिर बल के क्षण के वेक्टर को एक वेक्टर उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (1.2)
	4) जब किसी बल को उसकी क्रिया की रेखा के साथ स्थानांतरित किया जाता है, तो किसी दिए गए बिंदु के सापेक्ष उसके क्षण का वेक्टर नहीं बदलता है।

यदि एक ही तल में पड़े कई बल किसी कठोर पिंड पर लागू होते हैं, तो आप इस तल के किसी भी बिंदु के सापेक्ष इन बलों के क्षणों के बीजगणितीय योग की गणना कर सकते हैं।

पल एम ओ , एक ही विमान में किसी भी बिंदु के सापेक्ष किसी दिए गए सिस्टम के क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर, कहा जाता है बलों की प्रणाली का मुख्य क्षणइस बिंदु के सापेक्ष.

3. अक्ष के परितः बल का आघूर्ण

किसी अक्ष के बारे में बल का क्षण निर्धारित करने के लिए आपको यह करना होगा:

1) Z अक्ष पर लंबवत एक समतल बनाएं;

2) बिंदु निर्धारित करें के बारे मेंएक समतल के साथ एक अक्ष का प्रतिच्छेदन;

3) बल को ओर्थोगोनली प्रोजेक्ट करें एफइस विमान को;

4) बल प्रक्षेपण का क्षण ज्ञात कीजिए एफसमतल के साथ अक्ष के प्रतिच्छेदन के बिंदु O के सापेक्ष।

साइन नियम:

यदि Z अक्ष की ओर देखा जाए तो अक्ष के सापेक्ष बल का क्षण सकारात्मक माना जाता है , कोई विमान को घुमाने की प्रवृत्ति वाले प्रक्षेपण को देख सकता है मैं Z अक्ष के चारों ओर दक्षिणावर्त घुमाव के विपरीत दिशा में।

बल के क्षण के गुण अक्ष के सापेक्ष 1) अक्ष के सापेक्ष बल के क्षण को बिंदु O से Z अक्ष के अनुदिश सकारात्मक दिशा में यदि > 0 और ऋणात्मक दिशा में आलेखित एक खंड द्वारा दर्शाया जाता है।< 0. 2) अक्ष के परितः बल आघूर्ण का मान क्षेत्रफल Δ के दोगुने द्वारा व्यक्त किया जा सकता है (1.5) 3) अक्ष के सापेक्ष बल का क्षण दो मामलों में शून्य है: अगर एफ 1 = 0, अर्थात बल की क्रिया रेखा अक्ष के समानांतर होती है; अगर एच 1 = 0 , अर्थात बल की क्रिया रेखा अक्ष को काटती है।

4. बलों की जोड़ी. बलों की एक जोड़ी का वेक्टर और बीजगणितीय क्षण

दो समान परिमाण, समानांतर और विपरीत निर्देशित बलों की एक प्रणाली को कहा जाता है कुछ बल.

वह तल जिसमें बलों की क्रिया रेखाएँ स्थित होती हैं, कहलाता है बलों की एक जोड़ी की कार्रवाई का तल.

सबसे कम दूरी एचजोड़ी बनाने वाली ताकतों की कार्रवाई की रेखाओं के बीच को कहा जाता है कुछ ताकतों का कंधा.

कुछ ताकतों का क्षणजोड़ी और कंधे की ताकतों में से एक के मापांक के उत्पाद द्वारा निर्धारित किया जाता है।

चिन्हों का नियम

जोड़ी के क्षण वेक्टर एम को बलों की जोड़ी की कार्रवाई के विमान के लंबवत इस तरह से निर्देशित किया जाता है कि, इस वेक्टर की ओर देखने पर, कोई भी बलों की जोड़ी को अपनी कार्रवाई के विमान को विपरीत दिशा में घुमाने के लिए देख सकता है दक्षिणावर्त घुमाव के लिए.

1. 4. एक समतल पर बल युग्मों के गुण

संपत्ति 1. क्षण सदिश एमपरिमाण और दिशा में जोड़े वेक्टर की त्रिज्या के वेक्टर उत्पाद के बराबर होते हैं अबइस जोड़ी की ताकतों की ओर, जिसकी शुरुआत की ओर त्रिज्या वेक्टर निर्देशित है अब, वह है

(1.7)

संपत्ति 2. बलों का मुख्य क्षण जो जोड़ी की कार्रवाई के विमान पर एक मनमाना बिंदु के सापेक्ष एक जोड़ी बनाता है, इस बिंदु की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है और बलों की इस जोड़ी के क्षण के बराबर है।

5. बल युग्मों की तुल्यता के लिए शर्तें

बलों के जोड़े की तुल्यता की स्थिति पर प्रमेय,

एक ही तल में लेटे हुए.

दो समान और समानांतर बलों की प्रणाली, का लक्ष्य विलोमपार्टियाँ और एक ही सीधी रेखा पर नहीं पड़ा हुआ, बुलाया कुछ बल. बलों की ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण है चालक के हाथों से बल कार के स्टीयरिंग व्हील तक प्रेषित होता है।

पावर कपल के पास है बहुत बड़ाव्यवहार में अर्थ. इसीलिए गुणजोड़े विशिष्ट के रूप में पैमानेनिकायों की यांत्रिक अंतःक्रिया का अध्ययन किया जाता है अलग से.

जोड़युगल शक्ति बराबर है शून्य

पी - पी" = 0 (चावल। ए ),

अर्थात। बलों की एक जोड़ी का कोई परिणाम नहीं होता है. इसके बावजूद, शरीर कुछ शक्तियों के प्रभाव में है संतुलन में नहीं है.

कुछ बलों की कार्रवाईजैसा कि अनुभव से पता चलता है, एक ठोस शरीर पर यह झुक जाता है घुमाएँयह शरीर है.

घूर्णन उत्पन्न करने के लिए बलों की एक जोड़ी की क्षमता मात्रात्मकदृढ़ निश्चय वाला युगल क्षण, बराबर बल और न्यूनतम दूरी का गुणनफल(से लिया सीधाताकत के लिए) बलों की कार्रवाई की रेखाओं के बीच.

आइए हम युगल के क्षण को निरूपित करें एम , और बलों के बीच सबसे कम दूरी ए , तो क्षण का निरपेक्ष मान (चित्र। ए )

एम = रा = पी "ए .

सबसे कम दूरीबलों की क्रिया रेखाओं के बीच कहा जाता है कंधाजोड़े, इसलिए हम ऐसा कह सकते हैं पलबलों के जोड़े निरपेक्ष मान में बराबर होते हैं जोड़े और उसके कंधे की ताकतों में से एक का उत्पाद।

प्रभावकुछ बलों की कार्रवाई पूरी तरहइसके द्वारा निर्धारित किया जाता है पल. इसलिए, कुछ बलों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है धनुषाकार तीर, इंगित करता है दिशाघूर्णन (आंकड़ा देखें)।

चूँकि बलों की एक जोड़ी का कोई परिणामी नहीं होता है, यह केवल बल द्वारा संतुलित नहीं किया जा सकता.

में इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (एसआई)बल को मापा जाता है न्यूटन, और कंधा अंदर मीटर की दूरी पर. क्रमश पलसिस्टम में जोड़े एस.आईन्यूटोनोमीटर (एनएम) या इकाइयों में मापा जाता है गुणकोंन्यूटोनोमीटर: केएन एम, एमएन एम, आदि।

हम कुछ ताकतों के क्षण पर विचार करेंगे सकारात्मक, यदि दम्पति शरीर को मोड़ने की प्रवृत्ति रखते हैं दक्षिणावर्त दिशा में(चावल। ए ) और नकारात्मक, यदि दम्पति शरीर को घुमाने की प्रवृत्ति रखते हैं वामावर्त(चावल। बी ).

क्षण युग्मों के लिए स्वीकृत चिह्न नियम सशर्त; स्वीकार किया जा सकता है विलोमनियम। समस्याओं को हल करते समय, भ्रम से बचने के लिए, आपको हमेशा ध्यान रखना चाहिए एक विशिष्ट संकेत नियम.

1. बलों की जोड़ी- दो अलग-अलग बिंदुओं पर एक पिंड पर लागू दो बलों की एक प्रणाली:

मापांक में बराबर

समानांतर

विपरीत दिशा में निर्देशित

2. कंधे पर बलों की जोड़ी – किसी युग्म के बलों की क्रिया रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी।

कुछ ताकतों का क्षण

कुछ ताकतों का क्षण- जोड़ी के कंधे द्वारा किसी भी बल के मापांक का उत्पाद (बल का मापांक x कंधे)

बल युग्म के गुण

1. युग्म के बलों के किसी भी अक्ष पर प्रक्षेपण का योग शून्य है

F 2 cosα – F 1 cosα = 0

2. समतल पर किसी भी बिंदु के सापेक्ष युगल के बलों के क्षणों का योग युगल के क्षण के बराबर होता है।

माँ ओ() = - एफ 1 डी = - एफडी

माँ ओ () = + एफ 2 एल = + फ्लो

माँ ओ () + माँ ओ () = - एफडी + एफएल = - एफ(डी-एल) = - एफएच

इसलिए, बलों की एक जोड़ी को परिणामी द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है।

स्वतंत्र काम विद्यार्थी द्वारा विषय 1.3. (1 घंटा – सभी )

1. "बलों की जोड़ी" विषय पर बुनियादी अवधारणाओं की एक शब्दावली संकलित करें - आर्क, 'ईज़्ज़ - 1 घंटा

1. किसी बिंदु के सापेक्ष बलों के क्षण निर्धारित करने के लिए समस्याओं का समाधान: ऑटो - 1 घंटा

विषय 1.4. मनमाने ढंग से स्थित बलों की सपाट प्रणाली

- (4 घंटे आर्च, 2 घंटे ऑटो, ईजेएस)

बुनियादी अवधारणाओं

1. बलों की समतल प्रणाली- बलों की एक प्रणाली जिसकी कार्य रेखाएं एक ही तल में होती हैं।

2. विमान पर बल लगाया जा सकता है:

ए) बेतरतीब ढंग से स्थित;

बी) बलों के जोड़े;

बी) बल एक बिंदु पर एकत्रित होते हैं।

3. मनमाने ढंग से स्थित बलों की सपाट प्रणाली- सभी बल या उनकी कार्रवाई की रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

किसी दिए गए केंद्र पर बलों की एक समतल प्रणाली लाना

1.चलो परमुश्किल शरीर कार्य करता हैबल प्रणाली

2. चलिए अप्लाई करते हैं बिंदु O पर 2 संतुलित बल:

ए) एक दिए गए के बराबर और समानांतर है:

बी) एक अन्य बल दिए गए बल के बराबर है, लेकिन विपरीत दिशा में

3. परिणामस्वरूप, शरीर इससे प्रभावित होता है:

ए) अभिसरण बलों की एक प्रणाली

बी) क्षणों के साथ बल युग्मों की एक प्रणाली

4. हम अभिसारी बलों की प्रणाली को प्रतिस्थापित करते हैं परिणामी

अथवा किस हिसाब से इत्यादि।

5. बलों की एक जोड़ी की दूसरी संपत्ति के अनुसार, हम सभी जोड़ों के क्षणों का बीजगणितीय योग पाते हैं

एम ओ =एम 1 +एम 2 + …+एम एन

पॉइन्सॉट की लेम्मा

1. परिणामस्वरूप, मनमाना समतल प्रणाली बलों को बदला जा सकता है:

- एक बल से, एक मनमाने ढंग से चुने गए केंद्र पर लागू सभी बलों के ज्यामितीय योग के बराबर और

- पल, संबंधित युग्मों के आघूर्णों के बीजगणितीय योग के बराबर

2. स्वीकृत परिभाषाएँ:

ए) बिंदु ओ - कमी केंद्र

बी) मुख्य वेक्टर– वेक्टरआर सभी बलों के ज्यामितीय योग के बराबर। इसका मूल्य कटौती केंद्र की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

बी) मुख्य बिंदु– क्षण MO, संबंधित युग्मों के क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर। इसका मूल्य सम्मिलन के केंद्र की पसंद पर निर्भर करता है (कंधे का आकार बदल जाएगा)।

कास्टिंग के विशेष मामले

1.R 0 =0,M 0 ≠0 - सिस्टम समतुल्य है एक पल के साथ कुछ ताकतें,सिस्टम के मुख्य क्षण के बराबर, जो इस मामले में कमी के केंद्र की पसंद पर निर्भर नहीं करता है;

2. आर 0 ≠0,एम 0 ​​=0 - सिस्टम समतुल्य है परिणामी आर। इस मामले में मुख्य वेक्टर परिणामी है।

3. आर 0 ≠0, एम 0 ≠0 - सिस्टम समतुल्य है परिणामी आर, पिछले एक से दूरी d = M o \R पर स्थित एक नए कमी केंद्र पर लागू किया गया

4. R=0,M 0 =0 - बलों की समतल प्रणाली संतुलन में है;

वेरिग्नन का प्रमेय (बलों के परिणामी समतल प्रणाली के क्षण के बारे में)

एक मनमाना केंद्र O के सापेक्ष बलों की परिणामी समतल प्रणाली का क्षण इस केंद्र के सापेक्ष प्रणाली के सभी बलों के क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

बलों की समतल प्रणाली के लिए विश्लेषणात्मक संतुलन समीकरण

संतुलन की स्थिति को तीन समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है - बुनियादी संतुलन समीकरण:

2. संतुलन समीकरण लिखने के विकल्प - बलों के स्थान के आधार पर

भार वर्गीकरण

ध्यान केंद्रित

वितरित: एक रेखा के साथ, एक सतह पर, एक आयतन पर

बेंडिंग मोमेंट

बीम सिस्टम

1. स्थैतिक समस्याओं को हल करने के लिए वस्तु - बीम (या बीम सिस्टम)

2. बीम - दो (या अधिक) बिंदुओं पर समर्थन के साथ सीधे बीम के रूप में एक भाग।

समर्थन के प्रकार

1. जोड़दार और चलायमान: अपनी धुरी के चारों ओर घूमना (काज) + अनुवादात्मक गति (चल)

2. व्यक्त-स्थिर: अपनी धुरी के चारों ओर घूमना (काज)

3. कठोर सील(बन्द रखो): किसी भी गतिविधि को रोकता है.

समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए समस्याओं का समाधान करना

तीन संतुलन समीकरणों का उपयोग करके, समर्थन प्रतिक्रियाएं निर्धारित की जाती हैं (यदि युग्मन प्रतिक्रियाओं की संख्या तीन से अधिक नहीं है):

1. भार दिखाओ

2. भार निर्दिष्ट करें

3. समर्थनों से मुक्त करें और बीम पर उनकी क्रिया को प्रतिक्रियाओं से बदलें

4. एक संतुलन समीकरण बनाइये

5. संतुलन समीकरणों को हल करें और उनसे समर्थन प्रतिक्रियाएं निर्धारित करें

6. समाधान की जाँच करना

फ्लैट ट्रस की छड़ों में बलों का निर्धारण - नोड्स को काटकर

1. विश्लेषणात्मक विधि

2. ग्राफिकल विधि - मैक्सवेल-क्रेमोना आरेख का निर्माण

घर्षण सिद्धांत के तत्व

विषय 1.5. घर्षण सिद्धांत के तत्व(ऑटो - 1 घंटा)

छात्र का स्वतंत्र कार्य (कार - 1 घंटा)

1. व्यक्तिगत असाइनमेंट के आधार पर समस्याओं का समाधान करना

1. घर्षण की अवधारणा

घर्षण बल तब होता है जब पिंड संपर्क में आते हैं और एक पिंड की दूसरे की सतह पर गति को रोकते हैं।

2. घर्षण बलों के प्रकार:

ए) फिसलने वाला घर्षण

बी) फिसलने वाला घर्षण

3. फिसलन घर्षण– प्रतिरोध जो एक पिंड के दूसरे की सतह पर सापेक्ष गति के दौरान होता है।

4. घर्षण के नियम:

ए) घर्षण बल Ftr को सापेक्ष स्लाइडिंग गति के विपरीत दिशा में निर्देशित किया जाता है

बी) घर्षण बल संपर्क सतहों के क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है

सी) घर्षण बल का मापांक सामान्य दबाव के समानुपाती होता है (सामान्य दबाव जितना अधिक होगा, घर्षण बल उतना ही अधिक होगा)।

5. चित्र के अनुसार:

ए) गुरुत्वाकर्षण मिलीग्राम - नीचे (जितना अधिक मिलीग्राम, उतना अधिक समर्थन प्रतिक्रिया एन (वेक्टर)

बी) शरीर नीचे की ओर बढ़ता है = घर्षण बल झुके हुए तल की ओर निर्देशित होता है

बी) चिकनी सतह = समर्थन प्रतिक्रिया एन (वेक्टर) विमान के लंबवत निर्देशित है

डी) अभिगृहीत 3 का उपयोग करके, हम समांतर चतुर्भुज R (परिणामस्वरूप) के विकर्ण का निर्माण करते हैं

6. फिसलने वाले घर्षण बलों के प्रकार:

ए) आराम पर घर्षण बल एफ टीआर एफ ओ एन

बी) आंदोलन के दौरान घर्षण बल एफ टीआर एफएन

एन - सामान्य दबाव बल

एफ ओ - स्थैतिक घर्षण गुणांक

एफ - फिसलने वाला घर्षण गुणांक - पिंडों की फिसलने की गति पर निर्भर करता है।

दोनों गुणांक सतहों की सामग्री और भौतिक स्थिति पर निर्भर करते हैं

7. रोलिंग घर्षण- प्रतिरोध तब होता है जब एक पिंड दूसरे की ओर लुढ़कता है।

8. कनेक्शन के प्रकार:

ए) आदर्श (कोई घर्षण नहीं)

बी) वास्तविक (घर्षण के साथ)

छात्रों का स्वतंत्र कार्य - 3 घंटे का निबंध, 4 घंटे का निबंध,

1. विकल्पों का उपयोग करके एकल-स्पैन बीम के लिए समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए समस्याओं का समाधान करें

2. विकल्पों के अनुसार ट्रस छड़ों में बल निर्धारित करने के लिए समस्याओं का समाधान करें

3. प्रयास निर्धारित करने के तरीकों की तुलना करें, प्रत्येक विधि के फायदे और नुकसान का संक्षिप्त विश्लेषण करें - परिणाम को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करें

ऑटो - 2 घंटे

1. बीम सिस्टम की समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के लिए गणना और ग्राफिक कार्य करना

बलों की एक जोड़ी (या बस एक जोड़ी) दो समानांतर बलों का एक संयोजन है, परिमाण में समान, दिशा में विपरीत और शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू होती है (चित्र 30)। हम बलों के एक जोड़े को प्रतीक द्वारा निरूपित करेंगे। बलों को युगल बल कहा जाता है; वह तल जिसमें बल स्थित होते हैं, युगल की क्रिया का तल कहलाता है।

किसी जोड़ी के बलों की कार्य रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी को जोड़ी का कंधा कहा जाता है (चित्र में खंड AB की लंबाई h)।

तीस)। चूंकि बलों को उनकी कार्रवाई की रेखाओं के साथ स्थानांतरित किया जा सकता है, इसलिए हम जोड़ी की बाहों के सिरों पर लागू होने वाली जोड़ी की ताकतों को चित्रित करेंगे।

हम उस रूप में जोड़ी के लिए एक सरल पदनाम का भी उपयोग करेंगे जिसमें बलों के अनुप्रयोग के बिंदुओं के पदनाम शामिल नहीं हैं।

बलों की एक जोड़ी निकायों के बीच एक विशेष प्रकार की अंतःक्रिया को दर्शाती है, जिसे एक बल द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, स्थैतिक में, बलों के साथ-साथ, उनके विशिष्ट गुणों, जोड़ नियमों और संतुलन स्थितियों के साथ बलों के जोड़े पर भी अलग से विचार किया जाता है।

प्रारंभ में, बलों की एक जोड़ी को चार वैक्टरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है (चित्र 31.) - जोड़ी की ताकतों के दो वैक्टर और उनके आवेदन के बिंदुओं के दो त्रिज्या वैक्टर। आइए अंतरिक्ष में किसी बिंदु को O क्षणों के केंद्र के रूप में लें और इस केंद्र के सापेक्ष युगल बलों के क्षणों की गणना करें

फिर पिछले कथन को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है: बलों की एक जोड़ी को जोड़ी के बलों के वैक्टर और एक मनमाना केंद्र ओ के सापेक्ष इन बलों के क्षणों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। अब हम प्रश्न पूछते हैं: क्या यह संभव है बलों की एक जोड़ी को एक अलग तरीके से निर्दिष्ट करने के लिए, अधिमानतः कम संख्या में परिभाषित तत्वों के साथ?

किसी जोड़े के बल सदिशों का ज्यामितीय योग हमेशा शून्य होता है, इसलिए इसका उपयोग किसी जोड़े को चिह्नित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। आइए बिंदु O के सापेक्ष युगल बलों के क्षणों के योग की गणना करें:

प्राप्त परिणाम में दो परिस्थितियाँ उल्लेखनीय हैं।

1. जबकि जोड़े के बल वैक्टर का योग हमेशा शून्य होता है, जोड़े के बलों के क्षणों का योग गैर-शून्य होता है।

2. युग्म के बलों के क्षणों का योग क्षणों के केंद्र की पसंद पर निर्भर नहीं करता है - बिंदु O की पसंद के आधार पर वैक्टर आवश्यक योग के लिए अंतिम अभिव्यक्ति से बाहर हो जाते हैं।

इस प्रकार, किसी युग्म के बलों के क्षणों का योग केवल युग्म के तत्वों पर ही निर्भर करता है - युग्म की क्रिया का तल, बलों का मापांक और युग्म का कंधा। यह इस मान को बलों की एक जोड़ी की विशेषता के रूप में उपयोग करने का सुझाव देता है। निम्नलिखित में, एक युग्म के बलों के क्षणों का योग इस युग्म का आघूर्ण कहलाएगा। चूंकि जोड़ी का क्षण क्षणों के केंद्र की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, यह एक मुक्त वेक्टर है - इसे कठोर शरीर के किसी भी बिंदु पर लागू किया जा सकता है जिस पर बलों की यह जोड़ी कार्य करती है।

तो, इस सवाल पर कि क्या बलों की एक जोड़ी को सरल तरीके से निर्दिष्ट करना संभव है, एक सकारात्मक उत्तर प्राप्त हुआ: बलों की एक जोड़ी को केवल एक वेक्टर - जोड़ी का क्षण निर्दिष्ट करके चित्रित किया जा सकता है। बलों की एक जोड़ी का क्षण अंतरिक्ष में एक मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु O के सापेक्ष बलों की जोड़ी के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर एक मुक्त वेक्टर है

यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त विचार प्रकृति में विचारोत्तेजक हैं और उचित रूप से तैयार किए गए निष्कर्ष का कोई सख्त प्रमाण नहीं हैं। हालाँकि, सांख्यिकी में ऐसे कई प्रमेय हैं जिनमें निकाले गए निष्कर्ष को सख्त औचित्य प्राप्त होता है। ये प्रमेय सैद्धांतिक यांत्रिकी पर संपूर्ण पाठ्यपुस्तकों में पाए जा सकते हैं।

किसी जोड़े के क्षण को निर्धारित करने में बिंदु O को चुनने में मनमानी का लाभ उठाकर, हम क्षण की गणना करने की एक सरल विधि पर आ सकते हैं। आइए हम बल के अनुप्रयोग के बिंदु -F (चित्र 31 में बिंदु B) को क्षणों के केंद्र के रूप में लें। फिर आप लिख सकते हैं

यहां यह ध्यान में रखा गया है कि चूंकि बल -F बिंदु B से होकर गुजरता है। यदि बिंदु A, जिस पर बल F लगाया जाता है, को क्षणों के केंद्र के रूप में लिया जाता है, तो बल F का क्षण शून्य हो जाता है, और हमें मिलता है

यह एक जोड़े के क्षण की गणना के लिए एक और नियम की ओर ले जाता है: बलों की एक जोड़ी का क्षण दूसरे बल के अनुप्रयोग के बिंदु के सापेक्ष जोड़ी के एक बल के क्षण के बराबर होता है।

इस प्रकार, किसी जोड़े के क्षण का निर्धारण एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण की गणना और निर्माण करने के लिए कम हो जाता है, जैसा कि पहले चर्चा की गई थी (पेज 12 देखें)।

परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर आते हैं: बलों की एक जोड़ी का क्षण एक वेक्टर है जो संख्यात्मक रूप से जोड़ी की भुजा द्वारा जोड़ी की ताकतों के मापांक के उत्पाद के बराबर होता है और कार्रवाई के विमान के लंबवत निर्देशित होता है। वह युग्म जिस दिशा से युग्म का "घूर्णन" वामावर्त घटित होता हुआ दिखाई देता है (गिमलेट नियम); शरीर के किसी भी बिंदु को युग्म के क्षण के अनुप्रयोग के बिंदु के रूप में लिया जा सकता है।

एक जोड़े का बीजगणितीय क्षण जोड़े की ताकतों और जोड़े के कंधे के मापांक का उत्पाद है, जिसे प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है यदि जोड़ा अपने विमान को वामावर्त "घुमाता है", और यदि इसके विपरीत होता है तो माइनस चिह्न के साथ लिया जाता है।

चित्र में. चित्र 32 घूर्णन अक्ष के लंबवत स्थापित त्रिज्या आर की एक डिस्क के तल में कार्यरत बलों की एक जोड़ी को दर्शाता है। युग्म की भुजा डिस्क के व्यास के बराबर होती है, युग्म के आघूर्ण का मापांक बराबर होता है

युगल का क्षण डिस्क के तल पर लंबवत निर्देशित होता है और इसे डिस्क पर किसी भी बिंदु पर लागू किया जा सकता है।

चित्र में. 33 एक समान मामला दिखाता है, लेकिन एक सपाट प्रक्षेपण में दर्शाया गया है। यहां जोड़ी की ताकतें () ड्राइंग के विमान के लंबवत निर्देशित हैं (चिह्न निर्देशित वैक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, संकेत पाठक से दूर का प्रतिनिधित्व करता है)। जोड़ी के क्षण का मापांक बराबर है, डिस्क के विमान के लंबवत है और ड्राइंग के विमान में स्थित है (अधिक सटीक रूप से, इसे ड्राइंग के विमान में स्वयं के समानांतर स्थानांतरित किया जा सकता है)।

युगल के क्षण के निर्माण के दो और उदाहरण चित्र में शामिल हैं। 34. चित्रित युग्मों के क्षणों के मापांक में निम्नलिखित मान हैं:

युग्मों के क्षण सदिशों में प्रक्षेपण होते हैं:

बल युग्म के गुण

1. आप बल के परिमाण और युग्म के उत्तोलन को बदल सकते हैं, क्षण के परिमाण और युग्म के बलों के "रोटेशन" की दिशा को अपरिवर्तित छोड़ सकते हैं।

2. बलों की एक जोड़ी को इसके कार्य तल में इच्छानुसार स्थानांतरित किया जा सकता है।

3. बलों की एक जोड़ी को किसी भी विमान में अपने समानांतर स्थानांतरित किया जा सकता है, जो हमेशा उस शरीर से जुड़ा होता है जिस पर इसे लागू किया जाता है।

इन गुणों में सूचीबद्ध क्रियाएं जोड़ी के क्षण के परिमाण या दिशा को नहीं बदलती हैं, और इसलिए जोड़ी के समतुल्य परिवर्तन हैं।

ऊपर दिए गए उदाहरणों में, हम एक जोड़ी के दिए गए तत्वों - क्रिया के तल, बलों और जोड़ी के कंधे के आधार पर एक क्षण के निर्माण के बारे में बात कर रहे थे। आप व्युत्क्रम समस्या भी प्रस्तुत कर सकते हैं - इसके क्षण के आधार पर बलों की एक जोड़ी का निर्माण करें। मान लीजिए कि इसके क्षण M (चित्र 35, a) के आधार पर बलों की एक जोड़ी का निर्माण करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम क्षण की क्रिया की रेखा के लंबवत एक विमान पी का निर्माण करते हैं (चित्र 35, बी)। यह विमान युग्म की क्रिया के विमान के रूप में काम करेगा। इस तल में हम दो बल रखते हैं