Ryhmien alaryhmien analogeja ovat alirenkaat ja alikentät renkaissa ja kentissä.

Määritelmä 2.9. Sormuksen osajoukko I TO(kenttä P) kutsutaan alisoitto(vastaavasti alakenttä), jos se itse on rengas (kenttä) suhteessa R:ään määritellyissä yhteen- ja kertolaskuoperaatioissa TO(vastaavasti P:ssä).

Osarengasta (alikenttää) kutsutaan oma jos se ei vastaa itse rengasta (kenttää).

Alaryhmäkriteerin avulla saamme osarenkaan ja alikentän kriteerit.

Lause 2.1 (alakriteeri).Osajoukko minä renkaan K on alirengas, jos ja vain, jos seuraavat ehdot täyttyvät:

• 1) osajoukko minä on suljettu yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden alla, ts. jos a, b e minä, sitten a + b e minä ja eh? b e I;
• 2) minä sisältää nollan annetusta renkaasta K;
• 3) jos a e H, niin vastakkainen alkio on a e minä

Lause 2.2 (osakenttäkriteeri).Osajoukon P kenttä

F on alikenttä, jos ja vain, jos seuraavat ehdot täyttyvät:

• 1) osajoukko P on suljettu yhteen- ja kertolaskuoperaatioissa: jos a, b e P, niin a + b e P ja a? b e P;
• 2) P sisältää nollan ja yhden annetusta kentästä F;
• 3) jos a e P, niin vastakkainen alkio -a e P, ja jos a ^ 0, sitten a-1 e R.

• 1. Kokonaislukujen rengas Z on rationaalilukujen Q renkaan (kentän) osaluku. Kenttä Q on reaalilukujen M kentän alikenttä ja se puolestaan ​​on kompleksilukujen C kentän alikenttä.
• 2. Sormus K = (a+ b %/3 | a, b e Z) sisältää alirenkaan Z ja kentän P = (a + bj 3 | a, b e Q) sisältää alikentän Q.

Harjoitus 2.6. Onko siellä kentällä R-(a + b>/z | a, b e Q) muut alakentät Q:n lisäksi?

On helppo todistaa, että kahden tai useamman osarenkaan (osakentän) leikkauspiste on osarengas (vastaavasti osakenttä). "Suurin" alirengas (alikenttä) on itse rengas (kenttä). "Pienin" alirengas on nolla-alirengas, joka koostuu yhdestä annetun renkaan nollaelementistä. Pienimmän alikentän tyyppi selvitetään myöhemmin. Numerorengas (kenttä) Kutsutaan mitä tahansa kompleksilukukentän alirengasta (alikenttää).

Kokonaislukujen renkaassa parillisten kokonaislukujen osaluku on 2Z = (2n | n e Z) on suljettu paitsi yhteenlaskussa myös millä tahansa kokonaisluvulla kertomisessa. Tarkastellaan osajoukkoja, joilla on samat ominaisuudet mielivaltaisessa renkaassa.

Määritelmä 2.10. Alarengas I soi TO nimeltään ihanteellinen, jos se suljetaan kertomalla millä tahansa alkiolla kohteesta TO, nuo. kenelle tahansa heh tai kenelle tahansa Vastaanottaja e TO toimii khk, khk? minä

Määritelmä 2.11. Annetaan meille kommutoiva rengas TO Ja a b a 2, ..., a p e K. Osajoukko (k 1 a 1 + k 2 a 2 + ... + k p a p k v k 2, ..., kohtaan n ? TO) on ilmeisesti ihanteellinen TO, jota kutsutaan ideaali, jonka muodostavat elementit a b a 2, ..., a p, ja sitä merkitään (a 1; a 2, ..., a n). Erityisesti ideaali (a) = (Miten ? TO) nimeltään Pääasia.

Katsotaanpa esimerkkejä.

• 1. Satunnaisessa renkaassa nolla-alirengas on nollaideaali: (0) = (0). Itse sormus TO on myös ihanteellinen. Jos rengas TO sisältää siis yksikön 1 TO -(1), koska mikä tahansa renkaan elementti voidaan valmistaa yksiköstä: a = a-1. Tätä ihannetta kutsutaan yksittäiseksi.
• 2. Osoittakaamme, että jokainen kenttäideaali on joko nolla tai yksikkö.

Anna minun olla kentän ihanne R ja 0 F a e R. Silloin on olemassa alkio a -1 ja koska R on suljettu millä tahansa kentän elementillä kertomisen suhteen R meillä on e = A? a -1 e Z. Mutta sitten mihin tahansa x e R saamme x-x-ee I. Siksi I = R.

Huomaa, että jokainen ihanne kehässä on alirengas. Käänteinen ei ole totta. Esimerkiksi kokonaislukujen rengas rationaalilukujen kentässä on alirengas, mutta ei ideaali.

On helppo todistaa, että kahden ihanteen leikkauspiste on ihanteellinen.

Sormuksen ihanne on tietyssä mielessä "ihanteellinen alarengas", ts. alirengas, joka suljetaan kertomalla millä tahansa renkaan elementillä. Alla näytämme, että ihanteilla renkaissa on sama rooli kuin normaalilla alaryhmillä ryhmissä.

Kontrollikysymykset

• 1. Voiko kenttä sisältää osajoukon, joka on rengas mutta ei kenttä?
• 2. Voiko rengas sisältää osajoukon, joka on kenttä?
• 3. Sisältääkö kompleksilukujen kenttä äärellisiä osakenttiä?
• 4. Sisältyykö kenttä Z 3 kenttään Z 5?
• 5. Sisältyykö rengas Z 9 renkaaseen Z 10?

Tehtävät

• 1. Etsi kappaleen 2.1 tehtävissä esitetyille joukoille, jotka ovat renkaita ja kenttiä, esimerkkejä alirenkaista, osakentistä ja ihanteista.
• 2. Listaa kaikki ihanteet renkaissa Z 5 ja Z 6.
• 3. Todista, että kahden osarenkaan leikkauspiste on alirengas, kahden osakentän leikkauspiste on osakenttä ja kahden ihanteen leikkauspiste on ideaali.
• 4. Etsi polynomirenkaista Z[x] ja Q[x] alirenkaita, jotka eivät ole ihanteita.
• 5. Etsi kompleksilukujen kentästä kaikki osakentät, jotka sisältävät reaalilukukentän.
• 6. Kentällä Р = (а + bф2 a, b e Q) etsi kaikki Q:n sisältävät alikentät.

Huomautus: Tämä luento käsittelee sormusten käsitteitä. Esitetään rengaselementtien perusmääritelmät ja ominaisuudet sekä tarkastellaan assosiatiivisia renkaita. Tarkastellaan useita tunnusomaisia ​​ongelmia, pääteoriat todistetaan ja annetaan itsenäisen tarkastelun tehtävät

Sormukset

Kutsutaan joukkoa R, jossa on kaksi binaarioperaatiota (yhteenlasku + ja kertolasku). assosiatiivinen rengas yksiköllä, Jos:

Jos kertolasku on kommutatiivinen, kutsutaan rengasta kommutatiivisia rengas. Kommutatiiviset renkaat ovat yksi kommutatiivisen algebran ja algebrallisen geometrian tärkeimmistä tutkimuskohteista.

Huomautukset 1.10.1.

Esimerkit 1.10.2 (esimerkkejä assosiatiivisista renkaista).

Olemme jo nähneet, että ryhmä jäämiä (Zn,+)=(C0,C1,...,Cn-1), Ck =k+nZ, modulo n summausoperaatiolla, on kommutatiivinen ryhmä (katso esimerkki 1.9.4, 2)).

Määritetään kertolasku asettamalla . Tarkastetaan tämän toiminnon oikeellisuus. Jos Ck =C k" , Cl =Cl", niin k"=k+nu, l"=l+nv, ja siksi C k"l" =C kl.

Koska (C k C l) C m = C (kl) m = C k (lm) = C k (C l C m), C k C l = C kl = C lk = C l C k , C 1 C k =C k = C k C 1 , (C k + C l) C m = C (k + l) m = C km + lm = C k C m + C l C m, niin on assosiatiivinen kommutiivinen rengas, jonka yksikkö C1 jäännösrengas modulo n).

Renkaiden ominaisuudet (R,+,.)

Lemma 1.10.3 (Newtonin binomiaali). Olkoon R rengas, jossa on 1 , , . Sitten:

Todiste.

Määritelmä 1.10.4. Kutsutaan renkaan R osajoukkoa S alisoitto, Jos:

a) S on alaryhmä suhteessa ryhmään (R,+);

b) sillä meillä on ;

c) renkaalle R, jossa on 1, oletetaan, että .

Esimerkit 1.10.5 (esimerkkejä alirenkaista).

Ongelma 1.10.6. Kuvaile kaikki osarenkaat jäännösrenkaassa Zn modulo n.

Huomautus 1.10.7. Renkaassa Z 10 elementit, jotka ovat 5:n kerrannaisia, muodostavat renkaan 1:n kanssa, joka ei ole Z 10:n alirengas (näillä renkailla on eri yksikköelementtejä).

Määritelmä 1.10.8. Jos R on rengas ja , ab=0, niin elementtiä a kutsutaan R:n vasemmaksi nollan jakajaksi, alkiota b oikeaksi nollan jakajaksi R:ssä.

Huomautus 1.10.9. Kommutatiivisissa renkaissa ei tietenkään ole eroa vasemman ja oikean nollanjakajan välillä.

Esimerkki 1.10.10. Z:ssa, Q:ssa, R:ssä ei ole nollajakajia.

Esimerkki 1.10.11. Jatkuvien funktioiden renkaassa C on nollajakaja. Todellakin, jos

sitten , , fg=0 .

Esimerkki 1.10.12. Jos n = kl, 1

Lemma 1.10.13. Jos renkaassa R ei ole (vasenta) nollan jakajia, niin ab=ac , jossa , , tästä seuraa, että b=c (eli kyky peruuttaa nollasta poikkeava elementti vasemmalla, jos ei ole vasenta nollan jakajaa; ja oikealla, jos ei ole oikeaa nollan jakajaa).

Todiste. Jos ab=ac , niin a(b-c)=0 . Koska a ei ole vasen nollan jakaja, niin b-c=0, eli b=c.

Määritelmä 1.10.14. Elementtiä kutsutaan tehoton, jos x n = 0 joillekin . Pienintä luonnollista lukua n kutsutaan elementin nilpotenssin aste .

On selvää, että nilpotentti alkio on nollajakaja (jos n>1, niin , ). Käänteinen väite ei pidä paikkaansa (Z 6:ssa ei ole nilpotentteja alkioita, mutta 2, 3, 4 ovat nollan nollasta poikkeavia jakajia).

Harjoitus 1.10.15. Rengas Z n sisältää nilpotentteja alkioita silloin ja vain jos n on jaollinen m 2 :llä, missä , .

Määritelmä 1.10.16. Renkaan R alkiota x kutsutaan idempotentti, jos x 2 =x . On selvää, että 0 2 = 0, 1 2 = 1. Jos x 2 =x ja , niin x(x-1)=x 2 -x=0, ja siksi ei-triviaalit idempotentit ovat nollajakajia.

U(R):llä merkitään assosiatiivisen renkaan R käännettävien alkioiden joukkoa, eli niitä, joille on olemassa käänteisalkio s=r -1 (eli rr -1 =1=r -1 r ).

useita tekijöitä.

Esimerkki 2.23. "Viidentoista peli": 16 kenttään jaetulle neliölaudalle asetetaan 15 pelimerkkiä, jotka on numeroitu 1:stä 15:een ja jotka kattavat koko vastaavan kentän. Siirtämällä pelimerkkejä vaaka- ja pystysuunnassa vapaan kentän avulla, sinun on saatettava lauta tilaan (1) (kuva 2).

Kuva 2

Voidaan osoittaa, että ongelma on ratkaistavissa, jos ja vain, jos

asetus f

K 15

Onko mahdollista viedä tilanne

piirilevy (kuva 3) tilaan (1)?

Kuva 3

K 15

= (12)(3)(4)K (15)= (12),

korvaaminen

K 15

jopa Näin ollen ongelmalle, josta lähes 130 vuotta sitten tarjottiin suuri rahapalkinto, ei ole ratkaisua.

2.8. RSA-salausjärjestelmä

Ryhmäkäsitettä pidetään perustavanlaatuisena 1900-luvun matematiikassa. Ryhmiä käytetään laajasti fysiikassa (kristallografiasta alkuainehiukkasten teoriaan), kemiassa, biologiassa ja informaatioteoriassa. Uusimpia menetelmiä tietojen suojaamiseksi luvattomalta käytöltä kutsutaan ryhmämenetelmiksi, koska ne perustuvat ryhmän käsitteeseen. Silmiinpistävä esimerkki on RSA-salausjärjestelmä, jonka amerikkalaiset tutkijat River ehdottivat vuonna 1977

st, Shamir ja Adleman (Riverst R.L., Shamir A., ​​​​Adleman L.). Sen olemus on seuraava.

Etsi kaksi suurta alkulukua (60-70 desimaaleja) p ja g. Niiden tulo n = p g lasketaan. Sitten (Euler-funktion ominaisuudet 3, 1)

ϕ (n) = ϕ (p g) = ϕ (p) ϕ (p) = (p − 1) (g − 1). Luonnollinen luku e, 0 on kiinteä< e < n , НОД (e , ϕ (n )) = 1 . Пара (e , n ) называется открытым ключом. Переда-

kerättävä tieto muunnetaan digitaaliseen muotoon (alkuperäisessä lähteessä latinalaisten aakkosten kirjaimet on korvattu kaksinumeroisilla numeroilla: "a" = 01, "b" = 02 ja niin edelleen

luku m ≡ c e (mod n) . Siten m on luvun c e:s potenssi renkaassa Z/nZ. Vastaanottaja saa viestin m. Hän, kuten kaikki muutkin, tietää arvot n ja e. Hän

M:n salaamiseksi vastaanottajan on nostettava m d:nneksi tehomoduuliksi n. Tämä on yksinkertainen tehtävä.

Sieppaajan tulee purkaa viestin m salauksen tekijä n: n = pq. Sitten lasketaan ϕ (n) ja d löytyy helposti avoimesta

avain e. Juuri avaimen n tekijöihin jakaminen muodostaa ehdotetun kryptojärjestelmän pääasiallisen monimutkaisuuden. Kuten ensimmäisessä osassa todettiin, luonnollisen luvun laskeminen on ilmeisesti eksponentiaalinen ongelma n:ssä, mikä vastaa kaikkien mahdollisten ehdokastekijöiden kokeilemista.

Osoittaakseen kryptosysteeminsä vahvuuden keksijät salasivat viestinsä käyttämällä 129-numeroista numeroa n:nä ja 4-numeroista numeroa e:nä. Heidän viestinsä m oli 128-numeroinen numero. Maailmankuulu amerikkalainen palapeliasiantuntija M. Gardner julkaisi tämän kryptotekstin Scientific American -lehdessä elokuussa 1977 ja tarjosi 1 000 dollaria kaikille, jotka pystyivät tulkitsemaan sen. Teksti purettiin vasta huhtikuussa 1994. 129-numeroinen luku n jaettiin 64- ja 65-numeroisiksi tekijöiksi p ja q. Luvun n suora tekijöihin jakaminen kesti puolitoista vuotta laskelmia. Tämän jälkeen viestin purkaminen ei ollut vaikeaa.

2.9. Sormukset. Sormusten alajoukot ja ihanteet

Määritelmä 2.18. Rengas on ei-tyhjä joukko K, jossa on kaksi binäärialgebrallista operaatiota, yhteenlasku (+) ja kertolasku (); summauksen operaatiossa K on Abelin ryhmä, ja kertolasku ja yhteenlasku liittyvät toisiinsa distributiivisuuden laeilla:

(a + b) c = a c + b c; a (b + c) = ab + ac mielivaltaiselle a, b, c K:lle.

Esimerkki 2.24. (Z , +,) on kokonaislukujen rengas.

Esimerkki 2.25. (Z /nZ , +,) – jäännösluokkien rengas modulo n > 1. Esimerkki 2.26. Kaikkien tietyn kertaluvun n neliömatriisien joukko

rationaaliset, todelliset tai kompleksikertoimet suhteessa matriisin yhteen- ja kertolaskuoperaatioihin. Yleisesti hyväksytyt nimitykset näille renkaille ovat: M n (Q), M n (R), M n (C), vastaavasti.

Sormusten valikoima on erittäin laaja. Alkuaineiden lukumäärän mukaan renkaat jaetaan äärellisiin (esimerkki 2.25) ja äärettömiin (esimerkit 2.24, 2.26). Renkaiden pääluokitus perustuu niiden lisääntymisominaisuuksiin.

Määritelmä 2.19. Rengasta K kutsutaan assosiatiiviseksi renkaaksi jos

sille määritellyllä kertolaskuoperaatiolla on ominaisuus: (ab) c = a(bc) mielivaltaiselle a, b, c K :lle.

Rengasta K kutsutaan yksikkörenkaaksi, jos se on assosiatiivinen ja siinä on neutraali elementti kertolaskuoperaation suhteen.

Rengasta K kutsutaan kommutatiiviseksi, jos ba = ab mielivaltaiselle a, b K:lle.

Lause 2.16. Olkoon K assosiatiivinen rengas identiteetin kanssa. Kertolaskussa käännettävissä olevien renkaan K alkioiden joukko K* on ryhmä (jota kutsutaan renkaan K kertovaksi ryhmäksi).

Esimerkki 2.27. On helppo nähdä, että kokonaislukurenkaassa vain kaksi lukua on käännettävä kertolaskussa: 1 ja –1. Siksi Z * = ( 1,− 1) .

Esimerkki 2.28. Mn (R)* = GL n (R).

Esimerkki 2.29. Jäännösluokkien Z /nZ modulo n renkaan kertova ryhmä (Z /nZ )* koostuu ϕ ​​(n) luokista, jotka on muodostettu moduulin yhteislukujen avulla.

Määritelmä 2.20. Jos renkaassa K, jolla on identtisyys, kertova ryhmä K* = K \ ( 0 ) , niin rengasta K kutsutaan jakorenkaaksi tai jakoalgebraksi. Com-

Mutatiivista kappaletta kutsutaan kentällä.

Esimerkki 2.30. Seuraavat renkaat ovat kenttiä: a) Q – rationaalilukujen rengas;

b) R – reaalilukujen rengas;

c) C – kompleksilukujen rengas;

d) Z /pZ – jäännösluokkien rengas modulo p.

Määritelmä 2.21. Renkaan K alirengas on summausryhmän (K, +) aliryhmä, joka puolestaan ​​on rengas, eli suljettu renkaan K kertolaskuoperaation alaisena.

Esimerkki 2.31. (nZ , +,) – kokonaislukujen renkaan Z osajoukko; Z on rationaalilukujen renkaan Q osajoukko; Q on reaalilukujen renkaan R osajoukko. Ensimmäinen niistä on rengas ilman yksikköä, vaikka itse renkaassa Z on yksikkö.

Alarenkaat eivät yleensä peri renkaiden ominaisuuksia. Siksi renkaiden teoriassa erityistyyppiset alarenkaat - ihanteet - ovat erittäin tärkeitä.

Määritelmä 2.22. Renkaan K alirengasta J kutsutaan renkaan K vasemmaksi ideaaliksi, jos mille tahansa k K:lle ja jokaiselle j J tulo jk J , niin

siellä on Jk J. Jos kJ J kaikille alkioille k K , niin J:tä kutsutaan oikeaksi ideaaliksi. Kaksipuolinen ihanne on ideaali, joka on sekä vasen että oikea ihanne.

On selvää, että kommutatiivisessa renkaassa kaikki ihanteet ovat kaksipuolisia.

Esimerkki 2.32. mZ = ( mg | g Z ) – kokonaislukurenkaan kaksipuolinen ideaali

sat Z jokaiselle luonnolliselle m. Ilmeisesti mZ ≠ Z, jos m > 1. On selvää, että

2 z > 4 z > 8 z > 16 z > K ; 2 z > 6 z > 12 z > K .

Esimerkki 2.33. Yhdistelmämoduulin n = pq, p > 1, q > 1 renkaassa Z /nZ on helppo nähdä, että jäännösluokkien joukko (p, 2 p,K, (q- 1) p,0) on suljettu

jäännösluokkien yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden suhteen ja muodostaa siksi alirenkaan. Merkitään se J p. On helppo nähdä, että J p on ihanteellinen.

Samoin ideaali on joukko J q = ( q , 2q ,K ,(p − 1) q ,0) .

Esimerkki 2.34. Missä tahansa renkaassa K joukko (0) ja K ovat muodollisesti myös renkaan K ihanteita. Niitä kutsutaan sopimattomiksi tai triviaaleiksi, toisin kuin muut - oikeiksi ihanteiksi.

Lause 2.17. 1. Tietyn renkaan K ihanteiden leikkauspiste on saman renkaan ideaali.

Renkaan K J 1, J 2 on saman renkaan vasen (oikea) ideaali.

4. Joukko aK = ( ak | k K) on jokaiselle renkaan K alkiolle a renkaan K vasen ideaali.

5. Jos identtisessä renkaassa K on alkio a K *, niin a = K; jos a K*, niin a on renkaan K oikea ideaali.

6. Jos K on kommutatiivinen rengas ja a = bc irreversiibelille alkiolle a, b, c K, niin ac, ab.

Todistus koostuu kaikkien ihanteiden aksioomien suorasta tarkastuksesta.

Määritelmä 2.23. Renkaan K vasen pääideaali a, jonka generoi

elementti a K on ideaali Lauseen 2.17 4. kappaleesta, eli renkaan K osajoukko, joka koostuu kaikista alkioista ak, k K . Oikea pää

ideaali a koostuu kaikista alkioista ka, k K .

Lause 2.18. Kokonaislukujen Z renkaassa jokainen ideaali J on pääasiallinen.

Kunkin renkaan ihanteiden joukossa on osittainen järjestyssuhde sen mukaan, että ne sisältyvät toisiinsa joukkoina. Maksimiihanteilla on erityinen rooli.

Määritelmä 2.24. Renkaan K ideaalia M (vasen, oikea, kaksipuolinen) kutsutaan maksimaaliksi, jos K:llä ei ole omaa ideaaliaan J ehdolla M J .

Lause 2.19. Kokonaislukujen renkaassa ideaali J on maksimaalinen, jos ja vain jos on olemassa sellainen alkuluku p, että J = p.

2.10. Jakoisuus polynomirenkaassa

Olkoon P kenttä, eli mielivaltainen kommutiivinen rengas, jolla on identtisyys ja jossa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat käänteisiä, ts.

Olkoon P [ x ] polynomien rengas, joiden kertoimet P:stä tavallisella

polynomien yhteen- ja kertolaskuoperaatiot. Ominaisuuksissaan polynomit ovat lähellä kokonaislukuja. Esimerkiksi kokonaislukujen osalta se tapahtuu

Lause 2.20 (jaosta jäännösjäännöksellä). Kaikille kahdelle polynomille f(x) ja g(x) ≠ 0 renkaasta P[x] polynomeja on vain yksi q(x)

ja r (x) siten, että f (x) = g (x) q (x) + r (x) ja r (x) = 0 tai r (x):n aste on pienempi kuin g ( x).

Määritelmä 2.25. Lauseen 2.20 ehdoilla polynomia q (x) kutsutaan osamääräksi ja polynomia r(x) kutsutaan f (x):n jaon jäännökseksi g (x:llä). Jos r(x) = 0, niin f(x):n sanotaan olevan jaollinen g:llä (x) ja g (x) ja q (x) kutsutaan polynomin f (x) jakajiksi tai kertoimilla.

Jos yhtälössä f (x) = g (x) q (x) tekijöiden asteet eivät ole pienempiä kuin 1, niin q (x) ja g (x) kutsutaan polynomin f (x) ei-triviaaliksi jakajaksi.

Ilmeisesti jokainen kentän P nollasta poikkeava alkio on minkä tahansa renkaan P[x] polynomin jakaja. Siksi kenttäelementtejä kutsutaan polynomien triviaaliksi jakajaksi.

Lause 2.21. Käännettävät polynomit polynomirenkaassa P[x]

ovat nolla-asteen polynomeja, jotka eroavat nollasta, ja vain ne, eli P [ x ] * = P * .

Määritelmä 2.26. Polynomien f 1 (x), f 2 (x), K, f 5 (x) suurin yhteinen jakaja on niiden yhteinen jakaja, jolla on suurin kerroin

tilavuus 1, joka on jaollinen millä tahansa muulla yhteisellä jakajalla. Se on nimetty

GCD(f1(x) , f2(x) , K , fs(x)) .

Euklidinen algoritmi GCD:n löytämiseksi, jota käsiteltiin aiemmin osiossa 1

kokonaisluvuille, pätee myös polynomeille.
Lause 2.22. Polynomien f(x) ja g(x) suurin yhteinen jakaja
rengas P[ x] (jopa kertoimiin kentästä P) on sama kuin viimeinen
nollasta poikkeava jäännös r n (x) seuraavasta yhtälöketjusta:
(f(x) = g(x) q1					(x )+ r 1				(x);
( g(x) = r (x) q					(x )+ r					(x);
( r (x) = r		(x)q					R(x);
( KKKKKKKKKKK
	(x) = r			(x)q				(x)+ r(x);
n-2		n-1
(r n − (x )= r n (x )q n + 1 (x ).
Esimerkki 2.35. Etsi suurin yhteinen euklidisen algoritmin avulla

polynomien jakaja f (x) = 2 x 4 + 5 x 3 − 8 x 2 − 17 x − 6 ja g (x) = x 3 + 4 x 2 − x − 4 renkaassa Q[x].

Ratkaisu. Peräkkäisellä jaolla "kulmalla" saadaan seuraava euklidisen algoritmin yhtäläisyysketju:

f(x) = g(x) q				(x) + r(x) missä			q (x) = 2 x − 3, r (x) = 6 x2			− 12x − 18 ,
g(x) = r	(x)q		(x) r 2 (x) q 3 (x) + r 3 (x), missä q 3 (x) = 7 3 (x − 3), eli r 1 (x) = 6 (x + 1) (x − 3 ). Lauseen 2.22 mukaan suurin yhteinen jakaja saadaan euklidisen algoritmin avulla vakioon asti. Täten, GCD(f(x), g(x)) = x+1. Määritelmä 2.27. Polynomeja f (x) ja g (x) kutsutaan koprimeiksi mi, jos niiden suurin yhteinen jakaja on 1. Ajamalla euklidelaista algoritmia taaksepäin (samanlailla kuin kokonaisluvuilla) saadaan kahden polynomin suhteellisen yksinkertaisuuden kriteeri. Lause 2.23. Polynomit f (x) ja g (x) ovat koprime, jos ja vain jos on polynomeja u(x) , v(x), joille seuraava yhtälö pätee (Bezoutin relaatio polynomeille): f (x) u (x) + g (x) v (x) = 1. Tätä kriteeriä käyttämällä saadaan useita seurauksia, joilla on itsenäinen merkitys. Esitetään ne erillisinä lausuntoina. Lausunto 2.1. Jos polynomi f (x) on yhteisalkuluku kunkin polynomin ϕ (x) ja ψ (x) kanssa, niin se on koprimi niiden tulon kanssa. Lausunto 2.2. Jos polynomien f (x) ja g (x) tulo on jaollinen polynomilla ϕ (x), mutta gcd (f (x), ϕ (x)) = 1, niin g (x) on jaollinen ϕ ( x). Lausunto 2.3. Jos polynomi f (x) on jaollinen kullakin parittaisella koprimepolynomilla ϕ 1 (x), ϕ 2 (x), K, ϕ m (x), niin f (x) on myös jaollinen niillä tulo ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) K ϕ m (x). Määritelmä 2.28. Polynomia f (x) P [ x ], jonka aste on n ≥ 1, kutsutaan redusoitumattomaksi renkaassa P[ x], jos jossakin sen esityksestä tulona f (x) = g (x) q (x) tekijät g(x) , q(x) P[ x] yksi näistä tekijöistä on on vakio, eli kentän P elementti. Pelkistymättömien polynomien rakenne riippuu merkittävästi kentästä P. Jos P= C on kompleksilukujen kenttä, sitten redusoitumattomien polynomien mukaan C[ x] ovat vain päälauseen mukaan ensimmäisen asteen polynomeja algebra. Siitä seuraa, että kehässä R[ x] Vain ensimmäisen asteen polynomit sekä toisen asteen polynomit, joissa on negatiivinen diskriminantti, ovat redusoitumattomia. Mitä tulee sormukseen K[ x] , sitten tässä jokaiselle luonnolliselle n≥ 1 on olemassa (ja äärettömän monta) pelkistymättömiä astepolynomeja n. Nämä ovat esimerkiksi polynomeja xn± s, Missä s- alkuluku ko- seuraavan kriteerin mukaan. Lause 2.24 (Eisenstein-kriteeri). Antaa f ( x ) = a n x n+ a n− 1 x n− 1 +K+ a 1 x + a 0 – n-asteen polynomi > 1 kokonaislukukertoimilla ja p on sellainen alkuluku, että ai≡ 0 (mods) kaikille i < n, mutta an ei ole jaollinen p:llä ja a0 ei jaettavissa s2 . Sitten f(x) – redusoitumaton renkaassa K[ x] polynomi.