Etsi kaikki monimutkaiset juuriarvot

Kanssa ja luonnollinen luku n 2 .

Monimutkainen luku Z nimeltään juurin– c, Jos Z n = c.

Etsitään kaikki juuren arvot n– oh kompleksiluvun potenssi Kanssa. Antaa c=| c|·(cos Arg c+ i· synti ArgKanssa), A Z = | Z|·(kanssaos Arg Z + i· synti Arg Z) , Missä Z juuri n- oh kompleksiluvun potenssi Kanssa. Sitten sen täytyy olla = c = | c|·(cos Arg c+ i· synti ArgKanssa). Seuraa, että
Ja n· Arg Z = ArgKanssa
Arg Z =
(k=0,1,…) . Siten, Z =
(cos
+ i· synti
), (k=0,1,…) . On helppo nähdä, että jokin arvoista
, (k=0,1,…) eroaa jostakin vastaavasta arvosta
,(k = 0,1,…, n-1) moninkertaisesti 2π. Siksi , (k = 0,1,…, n-1) .

Esimerkki.

Lasketaan (-1) juuri.

, ilmeisesti |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1·(cos π + i· synti π )

, (k = 0, 1).

= i

Teho mielivaltaisella rationaalisen eksponentin kanssa

Otetaan mielivaltainen kompleksiluku Kanssa. Jos n luonnollinen luku siis Kanssa n = | c| n ·(Kanssaos nArgs +i· synti nArgKanssa)(6). Tämä kaava pätee myös tässä tapauksessa n = 0 (s≠0)
. Antaa n < 0 Ja n Z Ja s ≠ 0, Sitten

Kanssa n =
(cos nArgKanssa+i·sin nArgKanssa) = (cos nArgKanssa+ i·sin nArgKanssa) . Siten kaava (6) pätee mille tahansa n.

Otetaan rationaalinen luku , Missä q luonnollinen luku ja R on kokonainen.

Sitten alle tutkinnon c r ymmärrämme numeron
.

Me ymmärrämme sen ,

(k = 0, 1, …, q-1). Nämä arvot q kappaletta, jos murto-osaa ei voi pienentää.

Luento nro 3 Kompleksilukujonon raja

Luonnollisen argumentin kompleksiarvoista funktiota kutsutaan kompleksilukujen sarja ja on nimetty (Kanssa n ) tai Kanssa 1 , Kanssa 2 , ..., Kanssa n . Kanssa n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) kompleksiluvut.

Kanssa 1 , Kanssa 2 , … - sekvenssin jäsenet; Kanssa n – yhteinen jäsen

Monimutkainen luku Kanssa = a+ b· i nimeltään kompleksilukujen sarjan raja (c n ) , Missä Kanssa n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , missä tahansa

että kaikkien edessä n > N eriarvoisuus pätee
. Kutsutaan sekvenssiä, jolla on äärellinen raja lähentyvä järjestys.

Lause.

Jotta kompleksilukujen sarja (ja n ) (Kanssa n = a n + b n · i) konvergoi luvuksi = a+ b· i, on välttämätön ja riittävä tasa-arvon toteutumiseksilim a n = a, lim b n = b.

Todiste.

Todistamme lauseen seuraavan ilmeisen kaksois-epäyhtälön perusteella

, Missä Z = x + y· i (2)

Välttämättömyys. Antaa lim(Kanssa n ) = s. Osoittakaamme, että tasa-arvot ovat totta lim a n = a Ja lim b n = b (3).

Ilmeisesti (4)

Koska
, Kun n → ∞ , niin epäyhtälön (4) vasemmalta puolelta seuraa, että
Ja
, Kun n → ∞ . siksi yhtäläisyydet (3) täyttyvät. Tarve on todistettu.

Riittävyys. Olkoon yhtäläisyydet (3) täyttyneet. Tasa-arvosta (3) seuraa, että
Ja
, Kun n → ∞ , siksi epätasa-arvon (4) oikean puolen vuoksi se tulee olemaan
, Kun n→∞ , tarkoittaa lim(Kanssa n )=c. Riittävyys on todistettu.

Joten kysymys kompleksilukujonon konvergenssista vastaa kahden reaalilukujonon konvergenssia, joten kaikki reaalilukujonojen rajojen perusominaisuudet koskevat kompleksilukujonoja.

Esimerkiksi kompleksilukusarjoille Cauchyn kriteeri on voimassa: kompleksilukujen sarjan (kanssa n ) konvergoi, on välttämätöntä ja riittävää, että mihin tahansa

, että mille tahansan, m > Neriarvoisuus pätee
.

Lause.

Olkoon kompleksilukujen sarja (ja n ) ja (z n ) suppenevat arvoon c ja vastaavastiz, silloin yhtäläisyydet ovat tottalim(Kanssa n z n ) = c z, lim(Kanssa n · z n ) = c· z. Jos se on varmaa tietoazei ole yhtä suuri kuin 0, niin yhtälö on tosi
.

numerot trigonometrisessa muodossa.

Moivren kaava

Olkoon z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) ja z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Kompleksiluvun kirjoittamisen trigonometristä muotoa on kätevä käyttää kerto-, jakolasku-, kokonaislukupotenssiin korotus- ja n-asteen juuren erottamiseen.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Kun kerrotaan kaksi kompleksilukua trigonometrisessa muodossa niiden moduulit kerrotaan ja niiden argumentit lisätään. Jakaessaan niiden moduulit jaetaan ja argumentit vähennetään.

Kompleksiluvun kertomissäännön seuraus on sääntö kompleksiluvun nostamiseksi potenssiksi.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Tätä suhdetta kutsutaan Moivren kaava.

Esimerkki 8.1 Etsi tulo ja lukujen osamäärä:

Ja

Ratkaisu

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Esimerkki 8.2 Kirjoita luku trigonometrisessa muodossa

∙
-i) 7.

Ratkaisu

Merkitään
ja z2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arctaani ;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctaani
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 · 2 7
=

2 9

§ 9 Kompleksiluvun juuren erottaminen

Määritelmä. Juurinkompleksiluvun potenssi z (merkitse
) on kompleksiluku w siten, että w n = z. Jos z = 0, niin
= 0.

Olkoon z  0, z = r(cos + isin). Merkitään w = (cos + sin), sitten kirjoitetaan yhtälö w n = z seuraavassa muodossa

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Tästä syystä  n = r,

 =

Siten wk =
·
.

Näiden arvojen joukossa on täsmälleen n erilaista.

Siksi k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Kompleksitasolla nämä pisteet ovat sädeympyrään kirjoitetun säännöllisen n-kulmion kärjet
jonka keskipiste on pisteessä O (kuva 12).

Kuva 12

Esimerkki 9.1 Etsi kaikki arvot
.

Ratkaisu.

Esitetään tämä luku trigonometrisessa muodossa. Etsitään sen moduuli ja argumentti.

w k =
, jossa k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Kompleksisella tasolla nämä pisteet ovat neliön kärkipisteitä, jotka on piirretty sädeympyrään
keskipisteen origossa (kuva 13).

Kuva 13 Kuva 14

Esimerkki 9.2 Etsi kaikki arvot
.

Ratkaisu.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, jossa k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

Kompleksitasolla nämä pisteet ovat säännöllisen kuusikulmion kärjet, jotka on piirretty säteellä 2 olevaan ympyrään, jonka keskipiste on pisteessä O (0; 0) - Kuva 14.

§ 10 Kompleksiluvun eksponentiaalinen muoto.

Eulerin kaava

Merkitään
= cos  + isin  ja
= cos  - isin  . Näitä suhteita kutsutaan Eulerin kaavat .

Toiminto
sillä on eksponenttifunktion tavanomaiset ominaisuudet:

Kirjoitetaan kompleksiluku z trigonometrisessa muodossa z = r(cos + isin).

Eulerin kaavalla voidaan kirjoittaa:

z = r
.

Tämä merkintä on ns eksponentiaalinen muoto kompleksiluku. Sen avulla saamme säännöt kerto-, jako-, eksponentio- ja juurenpoistoa varten.

Jos z 1 = r 1 ·
ja z 2 = r 2 ·
?Että

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

·

z n = r n ·

, jossa k = 0, 1, … , n – 1.

Esimerkki 10.1 Kirjoita luku algebrallisessa muodossa

z =
.

Ratkaisu.

Esimerkki 10.2 Ratkaise yhtälö z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

Ratkaisu.

Kaikille kompleksisille kertoimille tällä yhtälöllä on kaksi juurta z 1 ja z 1 (mahdollisesti yhteneväinen). Nämä juuret voidaan löytää käyttämällä samaa kaavaa kuin todellisessa tapauksessa. Koska
ottaa kaksi arvoa, jotka eroavat vain etumerkistä, niin tämä kaava näyttää tältä:

Koska –9 = 9 e  i, niin arvot
tulee numeroita:

Sitten
Ja
.

Ratkaisu.

Yhtälön vaaditut juuret ovat arvot
.

Kun z = –1 on r = 1, arg(-1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Harjoitukset

9 Nykyiset luvut eksponentiaalisessa muodossa:

10 Kirjoita numerot eksponentiaalisessa ja algebrallisessa muodossa:

11 Kirjoita numerot algebrallisiin ja geometrisiin muotoihin:

12 numeroa on annettu

Esittämällä ne eksponentiaalisessa muodossa, etsi
.

13 Suorita seuraavat vaiheet käyttämällä kompleksiluvun eksponentiaalista muotoa:

A)
b)

V)
G)