Golden Ratio on yksinkertainen periaate, joka voi auttaa tekemään suunnittelusta visuaalisesti miellyttävän. Tässä artikkelissa selitämme yksityiskohtaisesti, kuinka ja miksi sitä käytetään.

Luonnossa yleinen matemaattinen suhde, jota kutsutaan kultaiseksi suhteeksi tai kultaiseksi keskiarvoksi, perustuu Fibonacci-sekvenssiin (josta olet todennäköisesti kuullut koulussa tai lukenut Dan Brownin kirjasta "Da Vinci-koodi"), ja se tarkoittaa kuvasuhde 1:1,61.

Tämä suhde löytyy usein elämästämme (kuoret, ananakset, kukat jne.), ja siksi ihminen näkee sen luonnollisena ja silmää miellyttävänä.

→ Kultainen suhde on Fibonacci-sekvenssin kahden luvun välinen suhde
→ Tämän sekvenssin piirtäminen mittakaavassa tuottaa spiraalit, jotka voidaan nähdä luonnossa.

Uskotaan, että ihmiskunta on käyttänyt kultaista suhdetta taiteessa ja suunnittelussa yli 4 tuhatta vuotta, ja ehkä jopa enemmän, tutkijoiden mukaan, jotka väittävät, että muinaiset egyptiläiset käyttivät tätä periaatetta pyramideja rakentaessaan.

Kuuluisia esimerkkejä

Kuten olemme jo sanoneet, kultainen suhde on nähtävissä läpi taiteen ja arkkitehtuurin historian. Tässä on muutamia esimerkkejä, jotka vain vahvistavat tämän periaatteen käytön:

Arkkitehtuuri: Parthenon

Antiikin kreikkalaisessa arkkitehtuurissa kultaista suhdetta käytettiin laskemaan ihanteellista suhdetta rakennuksen korkeuden ja leveyden, porticon mittojen ja jopa pylväiden välisen etäisyyden välillä. Myöhemmin uusklassismin arkkitehtuuri peri tämän periaatteen.

Taide: viimeinen ehtoollinen

Taiteilijoille sävellys on perusta. Leonardo da Vinci, kuten monet muutkin taiteilijat, ohjasi kultaisen suhteen periaatetta: esimerkiksi viimeisellä ehtoollisella opetuslasten hahmot sijaitsevat alemmassa kahdessa kolmasosassa (suurempi kultaisen kahdesta osasta). Ratio), ja Jeesus sijoitetaan tarkalleen kahden suorakulmion keskelle.

Verkkosuunnittelu: Twitterin uudelleensuunnittelu vuonna 2010

Twitterin luova johtaja Doug Bowman julkaisi Flickr-tililleen kuvakaappauksen, joka selittää Golden Ratio -periaatteen käytön vuoden 2010 uudelleensuunnittelussa. "Joka, joka on kiinnostunut #NewTwitterin mittasuhteista, tietää, että kaikki tehtiin syystä", hän sanoi.

Applen iCloud

ICloud-palvelukuvake ei myöskään ole satunnainen luonnos. Kuten Takamasa Matsumoto selitti blogissaan (alkuperäinen japanilainen versio), kaikki on rakennettu kultaisen suhteen matematiikan varaan, jonka anatomia näkyy oikealla olevassa kuvassa.

Kuinka rakentaa kultainen suhde?

Rakennus on melko yksinkertainen ja alkaa pääaukiolta:

Piirrä neliö. Tämä muodostaa suorakulmion "lyhyen sivun" pituuden.

Jaa neliö puoliksi pystyviivalla niin, että saat kaksi suorakulmiota.

Piirrä yhteen suorakulmioon viiva yhdistämällä vastakkaiset kulmat.

Laajenna tätä viivaa vaakasuunnassa kuvan osoittamalla tavalla.

Luo toinen suorakulmio käyttämällä oppaana edellisissä vaiheissa piirtämääsi vaakaviivaa. Valmis!

"kultaiset" soittimet

Jos piirtäminen ja mittaaminen eivät ole lempitoimintaasi, jätä kaikki "nurkkaus" työkaluille, jotka on suunniteltu erityisesti tätä varten. Alla olevien 4 editorin avulla löydät helposti kultaisen suhteen!

GoldenRATIO-sovellus auttaa sinua kehittämään verkkosivuja, käyttöliittymiä ja asetteluja Golden Ration mukaisesti. Se on saatavana Mac App Storesta hintaan 2,99 dollaria, ja siinä on sisäänrakennettu laskin visuaalisen palautteen avulla sekä kätevä Suosikit-ominaisuus, joka tallentaa asetukset toistuvia tehtäviä varten. Yhteensopiva Adobe Photoshopin kanssa.

Tämä laskin auttaa sinua luomaan täydellisen typografian verkkosivustollesi kultaisen suhteen periaatteiden mukaisesti. Kirjoita vain fontin koko, sisällön leveys sivuston kenttään ja napsauta "Aseta tyyppi"!

Tämä on yksinkertainen ja ilmainen sovellus Macille ja PC:lle. Syötä vain numero ja se laskee sen osuuden kultaisen suhteen säännön mukaisesti.

Kätevä ohjelma, joka vapauttaa sinut laskelmien ja ruudukon piirtämisen tarpeesta. Se tekee ihanteellisten mittasuhteiden löytämisestä helpompaa kuin koskaan! Toimii kaikkien graafisten muokkausohjelmien kanssa, mukaan lukien Photoshop. Huolimatta siitä, että työkalu on maksettu - 49 dollaria, kokeiluversiota on mahdollista testata 30 päivän ajan.

Salaisuus kultainen leikkaus yritti ymmärtää Platon, Eukleides, Pythagoras, Leonardo da Vinci, Kepler. Kauan sitten luotu kultainen suhde kiihottaa edelleen monia tiedemiehiä.

Muinaisista ajoista lähtien ihmiset ovat pyrkineet ymmärtämään, miten luontomme on järjestänyt ja rakentunut.

Pythagoras uskoi, että maailma on järjestetty tiukkojen geometristen lakien mukaan ja maailmankaikkeuden perusta on numero. On ehdotuksia, että hän lainasi tietämyksensä kultaisesta jakautumisesta egyptiläisiltä ja babylonialaisilta. Tästä todistavat Cheops-pyramidin, temppelien, taloustavaroiden ja Tutankhamonin haudan koristeiden mittasuhteet.

Eräs muinaisten tehtävistä oli jakaa jae kahteen yhtä suureen osaan siten, että suuremman jakson pituus suhteutettiin pienemmän pituuteen samalla tavalla kuin koko jakson pituus osion pituuteen. isompi.

Tai tämä suhde voidaan kääntää ja löytää suhde pienemmistä suurempiin. Tuloksena laskettiin, että suhde isompiin pienempiin = 1,61803... ja pienemmistä suurempiin = 0,61803...

Muinaisessa Kreikassa tällaista jakoa kutsuttiin harmoniseksi suhteeksi. Vuonna 1509 italialainen matemaatikko ja munkki Luca Pacioli kirjoitti kokonaisen kirjan" Jumalallisesta suhteesta».

2. Kultainen kolmio ja pentagrammi

« Kulta" kolmio on tasakylkinen kolmio, jonka sivun suhde kantaan on 1,618 ( Liite 1).

kultainen leikkaus voidaan nähdä myös pentagrammissa - tätä kreikkalaiset kutsuivat tähtipolygoniksi.

Viisikulmiota, johon piirretyt lävistäjät muodostavat viisisakaraisen tähden, kutsuttiin pentagrammiksi, jota on pidetty muinaisista ajoista lähtien kunnioitettuna hahmona.

Se oli ikivanha maaginen merkki hyvyydestä ja tulen, maan, veden, puun ja metallin maailman taustalla olevien viiden periaatteen veljeydestä. Pentagrammi on säännöllinen viisikulmio, jonka kummallekin puolelle on rakennettu tasakylkiset kolmiot, jotka ovat yhtä korkeat.

Viisisakarainen tähti on erittäin kaunis; ei ole turhaan, että monet maat asettavat sen lippuinsa ja vaakunoihinsa. Tämän hahmon täydellinen muoto miellyttää silmää.

Viisikulmio on kirjaimellisesti kudottu mittasuhteista ja ennen kaikkea kultaisesta mittasuhteesta ( liite 2).

Bulgarialainen aikakauslehti "Isänmaa" (nro 10, 1983) julkaisi Tsvetan Tsekov-Karandashin artikkelin "Toisesta kultaleikkauksesta", joka seuraa pääosiosta ja antaa toisen suhteen 44:56.

Tämä osuus löytyy arkkitehtuurista, ja se esiintyy myös rakennettaessa koostumuksia pitkänomaisen vaakamuodon kuvista.

Kuvassa näkyy toisen kultaisen leikkauksen viivan sijainti. Se sijaitsee kultaisen leikkauksen viivan ja suorakulmion keskiviivan puolivälissä.

Kultainen kolmio

Voit etsiä nousevan ja laskevan sarjan kultaisen osuuden segmenttejä käyttämällä pentagrammi.

Pentagrammin rakentamiseksi sinun on rakennettava tavallinen viisikulmio. Sen valmistusmenetelmän on kehittänyt saksalainen taidemaalari ja graafikko Albrecht Durer (1471...1528). Antaa O- ympyrän keskipiste, A- piste ympyrässä ja E- segmentin keskikohta OA. Säteeseen nähden kohtisuorassa OA, kunnostettu pisteessä NOIN, leikkaa ympyrän pisteessä D. Piirrä halkaisijalle segmentti kompassin avulla C.E. = ED. Ympyrään piirretyn säännöllisen viisikulmion sivun pituus on DC. Aseta segmentit ympyrän päälle DC ja saamme viisi pistettä säännöllisen viisikulmion piirtämisestä. Yhdistämme viisikulmion kulmat toistensa läpi diagonaaleilla ja saamme pentagrammin. Kaikki viisikulmion lävistäjät jakavat toisensa segmenteiksi, jotka on yhdistetty kultaisella leikkauksella.

Viisikulmaisen tähden jokainen pää edustaa kultaista kolmiota. Sen sivut muodostavat kärjessä 36° kulman, ja sivulle asetettu pohja jakaa sen kultaisen leikkauksen suhteessa.

Suoritamme suoran AB. Kohdasta A piirrämme sille kolme kertaa mielivaltaisen kokoisen janan O tuloksena olevan pisteen läpi R piirrä kohtisuora viivaan nähden AB, kohtisuorassa pisteen oikealle ja vasemmalle puolelle R aseta segmentit sivuun NOIN. Pisteitä saatu d Ja d1 yhdistä suorilla viivoilla pisteeseen A. Jana dd1 laittaa linjaan Mainos1, saa pisteen KANSSA. Hän jakoi linjan Mainos1 suhteessa kultaiseen leikkaukseen. Linjat Mainos1 Ja dd1 käytetään "kultaisen" suorakulmion rakentamiseen.

Voit etsiä nousevan ja laskevan sarjan kultaisen osuuden segmenttejä käyttämällä pentagrammia.

Riisi. 5. Säännöllisen viisikulmion ja pentagrammin rakentaminen

Pentagrammin rakentamiseksi sinun on rakennettava tavallinen viisikulmio. Sen valmistusmenetelmän on kehittänyt saksalainen taidemaalari ja graafikko Albrecht Durer (1471...1528). Olkoon O ympyrän keskipiste, A ympyrän piste ja E janan OA keskipiste. Pisteessä O palautettu kohtisuora säteeseen OA leikkaa ympyrän pisteessä D. Piirrä halkaisijalle jana CE = ED kompassin avulla. Ympyrään piirretyn säännöllisen viisikulmion sivun pituus on yhtä suuri kuin DC. Piirrämme janat DC ympyrään ja saamme viisi pistettä säännöllisen viisikulmion piirtämiseksi. Yhdistämme viisikulmion kulmat toistensa läpi diagonaaleilla ja saamme pentagrammin. Kaikki viisikulmion lävistäjät jakavat toisensa segmenteiksi, jotka on yhdistetty kultaisella leikkauksella.

Viisikulmaisen tähden jokainen pää edustaa kultaista kolmiota. Sen sivut muodostavat kärjessä 36° kulman, ja sivulle asetettu pohja jakaa sen kultaisen leikkauksen suhteessa.

Riisi. 6. Kultaisen kolmion rakentaminen

Piirrämme suoran AB. Pisteestä A asetetaan sille kolme kertaa mielivaltaisen kokoinen jana O, tuloksena olevan pisteen P kautta piirretään kohtisuora suoraa AB vastaan, kohtisuoraan pisteen P oikealle ja vasemmalle puolelle jätetään segmentit O. Yhdistämme tuloksena olevat pisteet d ja d1 suorilla viivoilla pisteeseen A. Poistetaan jana dd1 suoralta Ad1, jolloin saadaan piste C. Hän jakoi suoran Ad1 suhteessa kultaiseen leikkaukseen. Viivoja Ad1 ja dd1 käytetään "kultaisen" suorakulmion rakentamiseen.

1. Kultaisen leikkauksen historia

On yleisesti hyväksyttyä, että kultaisen jaon käsitteen otti tieteelliseen käyttöön Pythagoras, muinainen kreikkalainen filosofi ja matemaatikko (VI vuosisadalla eKr.). Oletetaan, että Pythagoras lainasi tietämyksensä kultaisesta jakautumisesta egyptiläisiltä ja babylonialaisilta. Itse asiassa Cheopsin pyramidin, temppelien, bareljefien, taloustavaroiden ja korujen mittasuhteet Tutankhamonin haudasta osoittavat, että egyptiläiset käsityöläiset käyttivät kultaisen jaon suhteita luodessaan niitä. Ranskalainen arkkitehti Le Corbusier havaitsi, että Abydoksen farao Seti I:n temppelin kohokuviossa ja farao Ramsesta kuvaavassa reliefissä kuvien mittasuhteet vastaavat kultaisen jaon arvoja. Arkkitehti Khesira, joka on kuvattu hänen mukaansa nimetystä haudasta peräisin olevan puulevyn reliefillä, pitää käsissään mittalaitteita, joihin on kirjattu kultaisen jaon mittasuhteet.

Kreikkalaiset olivat taitavia geometrioita. He jopa opettivat aritmetiikkaa lapsilleen geometristen kuvioiden avulla. Pythagoraan neliö ja tämän neliön diagonaali olivat perusta dynaamisten suorakulmioiden rakentamiselle.

Riisi. 7. Dynaamiset suorakulmiot

Myös Platon (427...347 eKr.) tiesi kultaisesta jaosta. Hänen dialoginsa "Timaeus" on omistettu Pythagoraan koulukunnan matemaattisille ja esteettisille näkemyksille ja erityisesti kultaisen jaon kysymyksiin.

Muinaisen kreikkalaisen Parthenon-temppelin julkisivussa on kultaiset mittasuhteet. Sen kaivauksissa löydettiin kompasseja, joita käyttivät muinaisen maailman arkkitehdit ja kuvanveistäjät. Pompeian kompassi (museo Napolissa) sisältää myös kultaisen jaon mittasuhteet.

Riisi. 8. Antiikkinen kultaisen suhteen kompassi

Muinaisessa kirjallisuudessa, joka on tullut meille, kultainen jako mainittiin ensimmäisen kerran Eukleideen elementeissä. "Periaatteiden" 2. kirjassa on esitetty kultaisen jaon geometrinen rakenne. Eukleideen jälkeen kultaista jakoa tutkivat Hypsicles (2. vuosisata eKr.), Pappus (III vuosisata jKr.) ja muut. keskiaikainen Eurooppa kultaisen jaon kanssa Tapasimme Eukleideen elementtien arabiankielisten käännösten kautta. Kääntäjä J. Campano Navarrasta (III vuosisata) kommentoi käännöstä. Kultaisen divisioonan salaisuuksia vartioitiin mustasukkaisesti ja pidettiin tiukasti salassa. Ne olivat vain vihittyjen tiedossa.

Renessanssin aikana kiinnostus kultaista jakoa kohtaan lisääntyi tiedemiesten ja taiteilijoiden keskuudessa, koska sitä käytettiin sekä geometriassa että taiteessa, erityisesti arkkitehtuurissa.Taiteilija ja tiedemies Leonardo da Vinci näki, että italialaisilla taiteilijoilla oli paljon empiiristä kokemusta, mutta vähän tietoa. Hän tuli raskaaksi ja alkoi kirjoittaa kirjaa geometriasta, mutta tuolloin ilmestyi munkki Luca Paciolin kirja, ja Leonardo hylkäsi ideansa. Aikalaisten ja tieteen historioitsijoiden mukaan Luca Pacioli oli todellinen valomies, Italian suurin matemaatikko Fibonaccin ja Galileon välisenä aikana. Luca Pacioli oli taiteilija Piero della Franceschin oppilas, joka kirjoitti kaksi kirjaa, joista toinen oli nimeltään "Perspektiivistä maalaukseen". Häntä pidetään kuvailevan geometrian luojana.

Luca Pacioli ymmärsi täydellisesti tieteen merkityksen taiteelle. Vuonna 1496 hän saapui Moreaun herttuan kutsusta Milanoon, jossa hän luennoi matematiikasta. Leonardo da Vinci työskenteli tuolloin myös Milanossa Moron hovissa. Vuonna 1509 Venetsiassa julkaistiin Luca Paciolin kirja "The Divine Proportion" upeasti toteutetuilla kuvituksilla, minkä vuoksi uskotaan, että ne ovat Leonardo da Vinci. Kirja oli innostunut hymni kultaiselle leikkaukselle. Kultaisen mittasuhteen monien etujen joukossa munkki Luca Pacioli ei jättänyt nimeämättä sen "jumalallista olemusta" jumalallisen kolminaisuuden ilmaisuksi - Jumala Poika, Jumala Isä ja Jumala Pyhä Henki (vihjettiin, että pieni segmentti on Jumalan Pojan personifikaatio, suurempi segmentti on Isän Jumala ja koko segmentti - Pyhän Hengen Jumala).

Leonardo da Vinci kiinnitti myös paljon huomiota kultaisen divisioonan tutkimukseen. Hän teki osia stereometrisestä kappaleesta, joka muodostui säännöllisistä viisikulmioista, ja joka kerta hän sai suorakulmiot, joiden kuvasuhteet olivat kultaisessa jaossa. Siksi hän antoi tälle jaolle nimen kultainen leikkaus. Joten se on edelleen suosituin.

Samaan aikaan Pohjois-Euroopassa, Saksassa, Albrecht Dürer työskenteli samojen ongelmien parissa. Hän luonnostelee johdannon mittasuhteita käsittelevän traktaatin ensimmäiseen versioon. Dürer kirjoittaa. ”On välttämätöntä, että joku, joka osaa tehdä jotain, opettaa sitä muille, jotka sitä tarvitsevat. Tämä on se, mitä päätin tehdä."

Yhdestä Dürerin kirjeestä päätellen hän tapasi Luca Paciolin ollessaan Italiassa. Albrecht Durer kehittää yksityiskohtaisesti ihmiskehon mittasuhteiden teoriaa. Dürer antoi tärkeän paikan suhdejärjestelmässään kultaiselle leikkaukselle. Ihmisen pituus jaetaan kultaisissa mittasuhteissa vyön viivalla, samoin kuin alas laskettujen käsien keskisormien kärkien läpi, kasvojen alaosan suulla jne. Dürerin suhteellinen kompassi on hyvin tunnettu.

1500-luvun suuri tähtitieteilijä. Johannes Kepler kutsui kultaista leikkausta yhdeksi geometrian aarteista. Hän kiinnitti ensimmäisenä huomion kultaisen mittasuhteen merkitykseen kasvitieteen kannalta (kasvien kasvu ja rakenne).

Kepler kutsui kultaista osuutta itsestään jatkuvaksi. "Se on rakennettu siten", hän kirjoitti, "että tämän loputtoman osuuden kaksi alinta termiä laskevat yhteen kolmannen termin, ja mitkä tahansa kaksi viimeistä termiä lasketaan yhteen, seuraava termi, ja sama osuus pysyy äärettömään asti."

Kultaisen mittasuhteen segmenttien sarjan rakentaminen voidaan tehdä sekä kasvusuunnassa (kasvava sarja) että laskusuunnassa (laskeva sarja).

Jos laitamme sivuun janan m mielivaltaisen pituiselle suoralle, sivuutamme sen viereen segmentin M. Näiden kahden janan perusteella rakennetaan nousevan ja laskevan sarjan kultaisen osuuden segmenttien asteikko.

Riisi. 9. Kultaisen leikkauksen segmenttien asteikon rakentaminen

Seuraavina vuosisatoina kultaisen mittasuhteen sääntö muuttui akateemiseksi kaanoniksi, ja kun ajan mittaan taiteesta alkoi taistelu akateemista rutiinia vastaan, taistelun kuumuudessa "he heittivät vauvan kylpyveden mukana". Kultainen leikkaus ”löydettiin” uudelleen 1800-luvun puolivälissä. Vuonna 1855 saksalainen kultaisen leikkauksen tutkija, professori Zeising, julkaisi teoksensa "Aesthetic Studies". Zeisingille tapahtui juuri sitä, mitä väistämättä pitäisi tapahtua tutkijalle, joka pitää ilmiötä sellaisenaan ilman yhteyttä muihin ilmiöihin. Hän ehdotti kultaisen leikkauksen osuutta ja julisti sen universaaliksi kaikille luonnonilmiöille ja taiteelle. Zeisingillä oli lukuisia seuraajia, mutta oli myös vastustajia, jotka julistivat hänen mittasuhteiden oppinsa "matemaattiseksi estetiikaksi".

Riisi. 10. Kultaiset mittasuhteet ihmiskehon osissa

Riisi. 11. Kultaiset mittasuhteet ihmishahmossa

Zeising teki loistavaa työtä. Hän mittasi noin kaksituhatta ihmisruumista ja tuli siihen tulokseen, että kultainen leikkaus kuvaa keskimääräistä tilastollista lakia. Kehon jakautuminen napapisteen mukaan on kultaisen leikkauksen tärkein indikaattori. Miehen vartalon mittasuhteet vaihtelevat keskimääräisen suhteen 13:8 = 1,625 sisällä ja ovat jonkin verran lähempänä kultaista leikkausta kuin naisen ruumiin mittasuhteet, joihin nähden osuuden keskiarvo ilmaistaan ​​suhteessa 8: 5 = 1,6. Vastasyntyneellä suhde on 1:1, 13-vuotiaana se on 1,6 ja 21-vuotiaana sama kuin miehen. Kultaisen leikkauksen mittasuhteet näkyvät myös suhteessa muihin kehon osiin - olkapään, kyynärvarren ja käden pituuteen, käsiin ja sormiin jne.

Zeising testasi teoriansa pätevyyttä kreikkalaisilla patsailla. Hän kehitti Apollo Belvederen mittasuhteet mahdollisimman yksityiskohtaisesti. Tutkittiin kreikkalaisia ​​maljakoita, eri aikakausien arkkitehtonisia rakenteita, kasveja, eläimiä, lintujen munia, musiikin sävyjä ja runollisia mittareita. Zeising antoi määritelmän kultaiselle leikkaukselle ja osoitti, kuinka se ilmaistaan ​​suorina janoina ja numeroina. Kun osien pituuksia ilmaisevat luvut saatiin, Zeising näki niiden muodostavan Fibonacci-sarjan, jota voitiin jatkaa loputtomiin suuntaan tai toiseen. Hänen seuraava kirjansa oli nimeltään "Kultainen jako luonnon ja taiteen morfologisena peruslakina". Vuonna 1876 Venäjällä julkaistiin pieni kirja, melkein esite, joka esitteli tätä Zeisingin työtä. Kirjoittaja turvautui nimikirjaimiin Yu.F.V. Tässä painoksessa ei mainita yhtäkään maalausteosta.

1800-luvun lopulla – 1900-luvun alussa. Kultaisen leikkauksen käytöstä taideteoksissa ja arkkitehtuurissa ilmestyi monia puhtaasti formalistisia teorioita. Muotoilun ja teknisen estetiikan kehittyessä kultaisen leikkauksen laki ulottui autojen, huonekalujen jne. suunnitteluun.