Какие фигуры можно сделать из листа мебиуса. Лента Мёбиуса один из самых необычных объектов с очень странными свойствами. Что же такого примечательного в ленте Мебиуса

08.10.2020

Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Лента Мебиуса относится к ним в полной мере.

Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности. А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в топонимике и других геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.

Что это такое? Кто и когда ее открыл?

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно – в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика - Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

Свойства

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.

Научное использование

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Реализация на практике

В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

Источник творческого вдохновения

Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности - Мауриц Корнелис Эшер.

Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.

Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.

Литература и топология

Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли

Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:

1. Для изготовления ее модели потребуются:

Лист обычной бумаги;

Ножницы;

Линейка.

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.опубликовано

Бударина Светлана

Одним из самых простых и одновременно самых сложных и странных объектов является лента Мёбиуса. Несмотря на всю неординарность данной фигуры её с легкостью можно сделать самостоятельно и провести все эксперименты, которые описываются в этой статье.

Лента Мёбиуса – простейшая неориентируемая поверхность, которая является односторонней в трёхмерном пространстве. Её часто называют ещё поверхностью Мёбиуса и относят к непрерывным (топологическим) объектам.

Согласно легенде, немецкий астроном, математик и механик Август Фердинанд Мёбиус открыл этот объект после того, как служанка, работающая в его доме, сшила тканевую ленту в кольцо, перевернув по невнимательности один из ее концов. Увидев результат, вместо того, чтобы отругать незадачливую девушку Мёбиус произнес: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!»

Август Фердинанд Мёбиус.

Изучив свойства ленты, Мёбиус написал о ней статью и отправил в Парижскую академию наук, но её публикации так и не дождался. Его материалы были опубликованы уже после смерти математика, а необычная топологическая поверхность была названа в его честь.

Сделать ленту Мёбиуса очень просто: возьмите ленту ABCD, а после сверните таким образом, чтобы точки A и D соединились с B и C.

Изготовление Ленты Мёбиуса. Получается обычная на первый взгляд фигура, которая имеет очень интересные свойства.

Необычные свойства ленты Мёбиуса

Односторонность
Все мы привыкли к тому, что у поверхностей всех объектов, с которыми мы сталкиваемся в реальном мире (например, листок бумаги) две стороны. Но поверхность ленты Мёбиуса односторонняя. Это легко можно проверить путём закрашивания ленты. Если взять карандаш и начать окрашивать ленту с любого места, не переворачивая, то в конечном итоге, лента окажется полностью закрашена.

Если кто-то попробует раскрасить только одну сторону поверхности ленты Мёбиуса, то пусть лучше сразу погрузит её в ведро с краской, поверхность ленты Мёбиуса непрерывная

Это легко проверяется следующим образом: если в любом месте на ленте поставить точку, то её можно соединить с любой другой точкой на поверхности ленты, не пресекая края. Таким образом, получается, что поверхность этого объекта непрерывная.

У ленты Мёбиуса нет ориентированности
Если бы вы смогли пройти через всю ленту Мёбиуса, то в момент возвращения в начальную точку путешествия вы бы превратились в зеркальное отражение самого себя.

Если ленту разрезать вдоль посередине, то в таком случае получается всего одна лента, хотя логика говорит о том, что их должно быть две, а если разрезать, отступив от края на треть ширины ленты, то получится уже два кольца сцепленных вместе - маленькое и большое. Сделав затем продольный разрез малого кольца посередине, в итоге, получим два переплетенных кольца одинаковых в размере, но разных по ширине.

Практическое использование ленты Мёбиуса
Уже существует довольно много изобретений, основанных на свойствах этого необычного топологического объекта. Например, красящая лента в матричных принтерах, скрученная в ленту Мёбиуса, служит гораздо дольше, поскольку износ в этом случае происходит равномерно по всей её поверхности. А скрученные в форме этого геометрического объекта лопасти кухонного миксера или бетоносмесителя снижают энергозатраты на 20%, и при этом качество полученной смеси улучшается.

Существует гипотеза, что полимер ДНК, представляющий собой двойную спираль, является фрагментом ленты Мёбиуса и по этой причине код ДНК так труден для расшифровки и понимания.

Некоторые физики, говорят о том, что оптические эффекты основаны на тех же свойствах, которыми обладает этот парадоксальный объект, так наше отражение в зеркале - это частный случай, одного из свойств ленты Мёбиуса.

Ещё одна гипотеза, связанная этим математическим объектом - это то, что сама наша Вселенная, возможно, замкнута в такую ленту и у неё есть своя зеркальная копия. Поскольку, если всё время двигаться в одном направлении по ленте Мёбиуса, то, в конце концов, окажемся в начальной точке нашего путешествия, но уже в своем зеркальном отображении.

Загадочная бутылка Клейна
На основе ленты Мёбиуса существует ещё одна удивительная фигура – бутылка Клейна. Она представляет собой бутылку, у которой на дне есть отверстие. Горлышко бутылки удлинено и загнуто, проходя в одну из стенок самой бутылки.

Бутылка Клейна

Такую фигуру невозможно воспроизвести в обычном трехмерном пространстве, ведь горлышко не должно касаться стенки бутылки и соединено с отверстием в её дне. Таким образом, получается поверхность, которая имеет всего одну сторону. Бутылка Клейна и лента Мёбиуса до сих пор привлекает внимание учёных, а также писателей.

А. Дейч в одном из своих рассказов писал о том, как однажды в Нью-Йоркском метро пути пересеклись и весь метрополитен стал напоминать ленту Мёбиуса, а электрички, идущие по путям, стали пропадать, вновь появляясь, только спустя несколько месяцев.

В книге Александра Митча «Игра в поддавки» герои попадают в пространство, которое напоминает бутылку Клейна.

Мир до сих пор остаётся для нас огромной загадкой, и кто знает, какие ещё причуды пространства откроют учёные в ближайшем будущем.

Арндт Анастасия

В работе рассматривается история открытия листа Мёбиуса и эксперименты, которые можно провести с листом Мёбиуса.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Весенненская средняя общеобразовательная школа»

Рождественские чтения

Номинация: «Точные науки»

Секреты листа Мёбиуса

Арндт Анастасия

Ученица 5 класса

Руководитель:

Арндт Ирина

Васильевна,

Учитель математики

с. Весеннее

2014 год

Введение. ………………………………………………………..…..…..… с. 3

Глава I. Историческая справка. .....…………………………………....... с. 3-4

Глава II. Лист Мёбиуса. ………………………………………….....…….с. 4-9

§1. Изготовление листаМёбиуса. ………………………………........…..с. 4

§2. Эксперименты с листом Мёбиуса. ……..………………………........с. 4-6

§3. Применение листа Мебиуса в жизни. ………………………….....… с.7-9

Заключение. ………………………………………..…………………........с. 9

Литература. ……………………………………………………………..….с. 10

Введение.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Примерлиста Мебиуса показывает, что может. Многие знают, что такое лента (лист) Мёбиуса. Тем, кто ещё не знаком с удивительным листом, который относится к «математическим неожиданностям», мы предлагаем вместе с нами провести исследование и окунуться в светлое чувство познания.

Меня очень заинтересовала эта тема. Я решила углубить свои познания в этой области.

Цель моей работы: исследовать лист Мебиуса как один из объектов топологии.

Задачи: - собрать всевозможную информацию о листе Мебиуса;

Исследовать опытным путем свойства листа Мебиуса;

Показать применение ленты Мёбиуса в жизни.

Глава I. Историческая справка.

Таинственная и знаменитая Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), родился в городе Шульпфорте, немецкий геометр, ученик «короля математиков» знаменитого К.Ф. Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом. Профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. Работая в спокойном уединении, Мёбиус сделал много интересных открытий, он стал одним из крупнейших геометров Х1Х в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.Это было самое значительное событие в его жизни!

Рассказывают, что открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

В истории нередко бывают случаи, когда одна идея приходит в головы одновременно нескольким изобретателям. Так случилось и с лентой Мебиуса.

В том же 1858 году идея ленты пришла и к другому ученому, ученику К.Ф. Гаусса – Иоганну Бенедикту Листингу (1808-1882), немецкому математику и физику, профессору Геттингенского Университета. Он дал название науке, изучающей непрерывность, - топология .

Топология изучает свойства геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать. Первенство в открытии топологического объекта – ленты досталось Августу Мебиусу.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона.

Глава II. Лист Мёбиуса.

§1. Изготовление листа Мёбиуса.

Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии.

Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей.Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ 1 А 1 , перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А 1 В 1 , т.е. так, что совместятся точки А и В 1 и точки А 1 и В.

Получим перекрученное кольцо. И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите?

§2.Эксперименты с листом Мёбиуса.

Чтобы изучить его свойства, я провела несколько опытов, которые разделила на две группы:

I группа.

Опыт № 1 . Начала красить лист Мёбиуса, не переворачивая его.

Результат. Лист Мёбиуса закрасился полностью.

«Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге «Что такое математика?»

Опыт № 2.

Представьте себе, что по ленте Мебиуса путешествует человечек - перевертыш, то пройдя весь путь, он вернется в исходную точку. При этом он обойдет обе поверхности - наружную и внутреннюю, не пересекая ребра. Это доказывает, что лента Мебиуса является односторонней поверхностью.Он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом!

А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно «круголистное » путешествие. У листа Мёбиуса - всего одна сторона!

II группа опытовсвязана с разрезанием листа Мебиуса.

Я провела ряд экспериментов, результаты которых занесла в таблицу.

опыта	Описание опыта	Результат
	Простое кольцо разрезали посередине вдоль.	Получили два простых кольца, такой же длины, шириной в два раза уже.
	Лист Мёбиуса разрезали посередине вдоль.	Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот.
	Разрезать лентуМёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины.	Получаются две ленты, одна-более короткая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами.
	Ленту шириной 4см разделить на четыре равные части, начинать разрезать, отступив от края 1 см.	Получаются две ленты, одна – равная длине исходной, другая – длинная.
	Лист Мёбиуса шириной 5 см разрезать вдоль на расстоянии 1 см от края.	Получится два сцепленных друг с другом кольца: лист Мёбиуса шириной 3 см, длиной равной длине исходного и шириной 1 см, длина в два раза больше исходного, перекручена на два полных оборота.
	Склеить лист Мёбиуса, перекрутив его два раза.	Получим два листа Мёбиуса, сцепленных друг с другом.

Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиуса.

§3. Применение листа Мебиуса в жизни.

Занимаясь этой работой, я пришла к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он актуален и в XX веке, и в XXΙ.

Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Любопытно, что лист Мебиуса и сейчас продолжает будоражить умы изобретателей. Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы.

Лист Мёбиуса в технике и физике

На магнитных лентах, закрученных по Мебиусу, объем записываемой информации увеличивается вдвое и проигрывается в два раза дольше. Были созданы особые кассеты, которые дали возможность слушать их с «двух сторон» не меняя местами.

Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их вывернуть по Мебиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно изнашивается, значит, и служить она будет дольше. Это даёт ощутимую экономию.

Лист Мёбиуса в природе и в жизни.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Лист Мёбиуса в искусстве.

Таинственная лента Мёбиуса всегда будоражила умы писателей, художников и скульпторов. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

Широко известны и его рисунки с изображением лента Мёбиуса.

Очень интересны памятники, посвящённые ленте Мёбиуса.

Улицы многих городов украшают скульптуры на тему ленты Мебиуса.

Ювелиры посвятили свои работы ленте Мёбиуса.

Лист Мёбиуса изображают на различных эмблемах, изображен на значке механико-математического факультета Московского университета.

Международный символ переработки также представляет собой Лист Мёбиуса.

Кроме того именем Мёбиуса назван кратер на обратной стороне Луны.

Архитекторы используют ленту Мебиуса в новаторских формах. Так, например, выглядит невероятный проект новой библиотеки в Астане (Казахстан).

Заключение.

Лист Мёбиуса обладает многими интересными свойствами.

Лист Мебиуса имеет один край.
Лист Мебиуса имеет одну сторону.
Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыли. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. В этой работе я пыталась описать свойства прекрасной поверхности - листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мёбиуса - топологическая фигура.

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:

у математиков- идут дальнейшие исследования;
у школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;
в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.

Мною не исчерпаны опыты с листом Мёбиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. В дальнейшем я планирую продолжить исследования этого непредсказуемого листа.

Литература.

Волошинов А.В., "Математика и искусство" М.:"Просвещение", 1996г.
Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября»,№14 1999г., № 24 2006г.
Гарднер М. «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978г.
Гусев В.А., Комбаров А.П. «Математическая разминка» М.:"Просвещение", 1986г.
Интернет - ресурсы сайта: http://ru.wikipedia .
Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками. Квант, 1974, №3.

Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.

Кто и когда ее открыл?

Свойства

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

Научное использование

Реализация на практике

Источник творческого вдохновения

Литература и топология

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:

1. Для изготовления ее модели потребуются:

Лист обычной бумаги;

Ножницы;

Линейка.

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

источники

Техника - молодёжи 1984-09, страница 65

МОУ «Будаговская средняя общеобразовательная школа» Тема: Выполнил: Шалыгин Иван Ученик 5 класса Руководитель: Калаш Г.В. Учитель математики Будагово 2012 год 1 ЭПИГРАФ: В трёхмерном пространстве Мы с вами живём, Гуляем, играем и в школу идём Так больше узнать бы о нём не мешало Исследовать всё О пространстве сначала. Всё что вокруг, нам привычно и мило. Путь нам в науку служанка открыла. Лента с ошибкою сшита была, Смысл для потомков она обрела. Так Мёбиус – лист для науки нашёл, Раздел в математике свой приобрёл. Ветвь, что поверхности тел изучает С тех пор топологией все величают. Как мухе на ленте с пути не свернуть? Увы, предстоит, бесконечный ей путь. 2 Содержание I. Лист Мёбиуса 1.Содержание……………………………………………………………………………………………………..3 2.Введение.……………………………………………………………………………………………………….4 3.Историческая справка……………………………………………………………………………………..5 4.Топология – "Геометрия положения"….....……………………………………………………….5 II. Исследование Эксперименты с бумагой: 1. Закрашивание поверхности Листа Мёбиуса…………………………………7 2. Разрезание Листа Мёбиуса: …………………………………………………………….8 а) вдоль листа на две равные части…………………………………………..……….9 б) при операции перекручивания ленты…………………………………………10 в) нескольких лент склеенных под прямым углом…………………………11 г) несколько разрезов вдоль листа на 3; 4; 5; частей.…………………….12 3. По результатам экспериментов заполнить таблицы….………………..12 4. Сделать выводы, полученные по результатам проведенных исследований……………………………………………………………………………………12 5. Фокусы с лентой Мёбиуса……………………………………………………………..13 6. Эксперименты с веревкой и жилетом. …………………………………………14 III. Практическое применение ленты Мёбиуса ……………………………………….15 IV Заключение……………………………………………………………………………………………….16 V. Список использованной литературы……………………………………………………..17 VI. Приложение…………………………………………………………………………………………….18 Практическое занятие кружка математики по исследованию Ленты Мёбиуса в 5 классе (фотографии и кадры видеозаписи, сделанные Шалыгиным Иваном)……………………………………………………………………………………………………………17 3 Введение Общая характеристика проекта: 1. Проект «Геометрия в пространстве» продолжительный (Рассчитан на вторую и третью четверти) 2. Проект познавательный, исследовательский. (Исследование и эксперимент, систематизация и практическое применение). 3. Проект групповой (Работа на заседаниях кружка с учащимися 5 класса) 4. Проект расширенный. (Проводится в рамках школы с последующей защитой раздела проекта в форме реферата и презентации на районной конференции «За страницами учебника математики») 5. По результатам раздела проекта по теме: «Секреты листа Мёбиуса» подготовил реферат и выступил руководитель IV группы Шалыгин Иван. Цель работы: 1. Познакомиться с новым разделом математики – «Топологией», с её основными понятиями и задачами, выполнить в практических целях исследования и сделать для себя открытия. 2. Сформировать первое представление о Листе Мёбиуса. Познакомиться с основными приёмами математического подхода к окружающему миру. 3. Научиться проводить исследования, описывать результаты, заполнять таблицы и выполнять полученные чертежи и рисунки моделей полученных в ходе эксперимента. 4. Научиться делать аргументированные выводы, генерировать идеи по разрешению ситуаций, применять знания к решению новых задач и проблем. 5. Провести практические эксперименты. 6. Установить, связь рассмотренного материала с жизнью. 4 Историческая справка Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса. На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Топология – "Геометрия положения" С того момента, как немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Топология в основном изучает поверхности тел, и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех других отношениях они различны. 5 Лента Мебиуса положила начало новой науке – топологии. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его Лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – "взрыва” фигуры. Поэтому иногда топологию называют "геометрией непрерывности”. Она известна и под именем "резиновая геометрия”, потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично. Какие же необычные свойства фигур изучает топология? До сих пор речь шла всего об одном свойстве – односторонности. Если двигаться по поверхности Ленты Мебиуса в одном направлении, не пересекая ее границ, то, в отличие от двусторонних поверхностей (например, сферы и цилиндра), попадаешь в место, перевернутое по отношению к исходному. Если двигать по этой ленте окружность, одновременно обходя ее по часовой стрелке, то в начальном положении направление обхода станет против часовой стрелки. Другими свойствами, которые изучает топология, являются непрерывность, связность, ориентированность. Например, непрерывность – это ещё одно топологическое свойство. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то 6 убедитесь, что масштаб аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всётаки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И, поэтому, тополог может, как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край "ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная. Эксперименты с бумагой. Чтобы сделать лист Мёбиуса надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Находясь на поверхности листа Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Мы рассмотрим сейчас несколько опытов с поверхностями и отверстиями, полученными из бумажной полоски. Удобнее всего использовать полоски длиной примерно 30 – 40 см и шириной 3см. Прежде всего, склеим два кольца – одно простое и одно перекрученное. 7 Кольца, конечно, очень похожи; но что получится, если провести непрерывную линию по одной из сторон кольца? Когда Мёбиус сделал это на перекрученном кольце, он обнаружил, что линия прошла по обеим сторонам, хотя его карандаш не отрывался от бумаги. Означает ли это, что наше кольцо имеет только одну сторону? Испытай теперь свои кольца. 1. Закрась полностью только одну сторону каждого из них. Сколько у них поверхностей? Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса - кусок за куском, не переходя через край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист Мёбиуса! Чем же интересен этот лист? А тем, что у листа Мёбиуса - всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны. 8 2. Поставь точку на одной стороне каждого кольца и черти непрерывную линию вдоль него, пока не придёшь снова в отмеченную точку. Сколько краёв имеет лента Мёбиуса? Неожиданность номер два: граница у листа Мёбиуса одна, а не состоит из двух частей, как у обычного кольца. Испытаем кольца, разрезая их на две части вдоль. Сейчас получиться два отдельных кольца. Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального кольца. Запиши результаты дальнейших перекручиваний и разрезаний в таблицу. Несколько перекручиваний. 9 А что получится, если сделать полный оборот? Сколько краёв имеет получившееся кольцо? Сколько поверхностей? А что получится, если разрезать его пополам вдоль? Проведём несколько исследований с перекручиванием на пол-оборота. На полный оборот, на полтора оборота. Опишем свойства и сделаем эскизы получившихся результатов. Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту пополам по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют "афганская лента". Если теперь эту ленту разрезать посередине, получатся две намотанные друг на друга. Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами. Запишем результаты перекручиваний и разрезаний в таблицу исследований. Таблица исследований № 1 С одной лентой № п/п Число полуоборотов 1 0 Результат одного разрезания пополам вдоль Два кольца Свойства 2 1 Одно кольцо Кольцо вдвое длиннее 3 2 Два кольца Кольца той же длины сцеплены друг с другом 4 3 Одно кольцо Кольцо вдвое длиннее связано узлом Кольца вдвое уже той же длины 10 Эскиз Выводы: Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. 4 полуоборота на 360 градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону. Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе. Если взять не бумажную ленту, а полосу любой ткани, повернуть один из концов полоски на три полных оборота, т.е. на 540 градусов, сшить оба конца. Затем взять ножницы и аккуратно разрезать полоску посередине, затем разрезать ещё раз, то получается три одинаковых кольца, сцепленных между собой. Несколько лент Мы поразимся тому, что получится, если разрезать двойное кольцо. Приготовьте два кольца: одно обычное и одно Мёбиусово. Склейте их под прямым углом, а затем оба разрежьте вдоль. Таблица исследований № 2 № п/п Количество колец 1 Два кольца расположенные перпендикулярн о друг другу. Результат разрезания вдоль каждой ленты Три кольца Свойства Два кольца той же длины, третье вдвое длиннее. Два кольца меньшей длины переплетены в паре третьим кольцом 11 Эскиз Дополнительный вопрос Несколько разрезов Если разрезать ленту на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое. Таблица исследований № 3 № п/п Количество разрезов 1 Три части Результат разрезания вдоль каждой ленты Два кольца Свойства Одно кольцо той же длины, второе вдвое длиннее сцеплены друг с другом 12 Эскиз 2 Четыре части Два кольца Оба кольца вдвое длиннее разрезанного, сцеплены друг с другом. Одно из колец переплело другое 3 Пять частей Три кольца Два кольца вдвое длиннее переплетены друг с другом и сцеплены вместе в пару третьим коротким кольцом первоначальной длины Выводы: Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма "затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине. Фокусы с лентой Мёбиуса. Физики, утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой... правильно, зеркального своего двойника! В силу своих необычных свойств лента Мёбиуса широко используется на протяжении последних 75 лет фокусниками. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». На основе исследований проведённых нами с кольцами из перекрученной ленты можно показать серию фокусов. Вот один из них: Вручаем зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путём склеивания концов бумажной ленты. (Таблица исследований 1). Зритель разрезает ножницами кольца вдоль ленты посередине, пока не вернётся в исходную точку. В результате из первого получится два отельных кольца. Из второго – одно кольцо, но вдвое длиннее, а из третьего – два кольца, сцепленные друг с другом. 13 Если трижды перекрученную ленту продеть сквозь перстень склеить концы, а затем разрезать её вдоль посередине, то получим одно большое кольцо с узлом, завязанным вокруг перстня. Аналогично для фокусов можно использовать таблицы исследований 2 и 3. Эксперименты с веревкой и жилетом. Фокусы с лентой Мёбиуса являются частью топологических фокусов, для проведения которых необходимы гибкие материалы, которые не изменяются при непрерывных преобразованиях: растяжениях и сжатиях. Для выполнения экспериментов необходимы шарф, жилет, веревки. Сначала ставим перед собой проблемную ситуацию. С помощью экспериментов ищем выход из сложившейся ситуации. Эксперимент 1. Проблема завязывания узлов. Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок. Эксперимент 2. Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека. Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. Тот же самый эксперимент можно провести и, не расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить 14 шнуром кисти рук, оставляя между ними сантиметров 40, чтобы обеспечить свободу движений, и руки сцепить впереди. Эксперимент 3. Распутывание колец из верёвок. Двое участников связаны веревками за руки. Тем самым руки и веревки образовывают два сцепленных кольца. Необходимо, не развязывая веревок, распутаться. Отгадка этого опыта кроется в том, что на руках у участников есть еще по две петли. Необходимо одну веревку протянуть через одну из петель на руках другой веревки и снять петлю через кисть руки. III. Практическое применение ленты Мёбиуса Самое удивительное ее свойство - то, что она односторонняя, ее нельзя раскрасить двумя красками, а насекомые, ползающее по ней, обойдут обе стороны, не пересекая край. Это свойство нашло практическое применение: запатентовано множество устройств, например, ремень для заточки, красящая лента для печатающих устройств, ременная передача и другие технические решения. Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность изнашивается вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это даёт ощутимую экономию Свойства, которыми обладает лента Мёбиуса можно использовать в швейной промышленности при оригинальном раскрое ткани Пружинный механизм детских заводных игрушек чаще всего выходит из строя, потому, что дети нередко пытаются заводить пружину, когда она и так закручена до предела. Кольцевая перекрученная пружина может стать "вечным двигателем" для детских игрушек. Еще один пример возможного использования нового механизма щелевой затвор фото- или кинокамеры (не цифровой). В традиционных конструкциях после спуска затвора необходимо закрыть щель шторки затвора, а затем только вернуть его в исходное положение, одновременно 15 взведя пружину. Иначе кадр засветится при прохождении щели затвора в обратном направлении. Устройство затвора получается весьма сложным. Применение ленты Мёбиуса позволило упростить конструкцию, повысило ее надежность, долговечность и быстродействие. Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с "двух сторон” не меняя их местами. Скольких людей приводили в восторг аттракционы "Американские горки”. Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка. Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. IV. Заключение Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно, но оно очень популярно и в наши дни. Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу, же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики – Топология. Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах. Но кто знает, может быть со временем, мы станем знаменитыми топологами и совершим замечательные открытия. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут нашими именами. Работая вместе с ребятами моей группы над проектом «Секреты листа Мёбиуса» я узнал много нового и интересного: научился находить литературу по предложенной учителем теме в библиотеке, читать и выбирать нужный материал; пользоваться статьями в интернете, подбирать нужные иллюстрации для реферата, строить таблицы и заполнять их; выполнять исследования «листа Мёбиуса» (делать нужное число поворотов склеивать и разрезать); получившиеся кольца фотографировать и вносить в таблицу; составлять презентацию и снимать на видео эксперименты; выступать на конференции и показывать фокусы. Всё это довольно сложно и требует много времени, но очень интересно. 16 «Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой» Р. Курант. 17 Литература 1. Гарднер М «Математические чудеса и тайны», Москва, «Наука» 1986г 2. Громов А.С. «Внеклассные задания по математике 8-9 класс» Москва, Просвещение 3. Н. Лэнгдон, Ч.Снейп «С математикой в путь» Москва, Педагогика, 1987г 4. Научно – популярный журнал "Квант" 1975 год №7, 1977год №7. 5. Савин А.П. « Энциклопедический словарь юного математика», М, Просвещение, 1985г 6. Якушева Г.М «Большая энциклопедия школьника. Математика», Москва, «СЛОВО», Эксмо, 2006г 7. w.w.w.Rambler.ru 18 Приложение Лабораторная работа «Лист Мёбиуса» на занятиях математического кружка 19 Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса - кусок за куском, не переходя через край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист Мёбиуса! 20 Поставь точку на одной стороне каждого кольца и черти непрерывную линию вдоль него, пока не придёшь снова в отмеченную точку 21 Испытаем кольца, разрезая их на две части вдоль. 22 Сейчас получиться два отдельных кольца. Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального кольца. 23 Запишем результаты перекручиваний и разрезаний в таблицу исследований. 24 Оба кольца вдвое длиннее разрезанного, сцеплены друг с другом. Одно из колец переплело другое 25 Одно кольцо той же длины, второе вдвое длиннее сцеплены друг с другом 26 Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами. 27

просмотров

Сохранить ВКонтакте